É possível conseguir condições de regime estacionário em um cilindro ou esfera sólida na qual haja geração de calor e cuja superfície esteja perfeitamente isolada? Explique.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está nos pedindo. Temos um cilindro ou esfera sólida que está gerando calor internamente, e a sua superfície está perfeitamente isolada, ou seja, não permite a troca de calor com o ambiente externo. O conteúdo que vamos usar aqui é da Transferência de Calor, especificamente sobre condição de regime estacionário. Precisamos saber como o calor se comporta dentro do material quando a temperatura não está mais mudando com o tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é regime estacionário. Isso acontece quando as temperaturas dentro do objeto não variam mais com o tempo porque a geração de calor interna está equilibrada pela perda de calor. A equação que descreve isso para um meio com geração de calor é:
Aqui, é a Laplaciana da temperatura, e é a condutividade térmica do material.

Passo 3

No nosso caso, a superfície está perfeitamente isolada, o que significa que não há fluxo de calor passando por ela. Matematicamente, isso é representado por uma condição de contorno de fluxo de calor zero:
í
Onde é a derivada da temperatura na direção normal à superfície.

Passo 4

Agora, vamos analisar se é possível atingir o regime estacionário. Se há geração de calor interna ( ), mas a superfície está isolada ( ), o calor gerado não tem para onde ir. Isso significa que a temperatura dentro do material continuará aumentando indefinidamente, já que não há perda de calor para o ambiente.

Passo 5

Para que o regime estacionário seja alcançado, a geração de calor interna deve ser balanceada pela condução de calor para fora do material. Mas, como a superfície está perfeitamente isolada, esse balanceamento não ocorre. Portanto, a temperatura não se estabiliza; ao contrário, continua aumentando com o tempo.

Resposta

Não é possível alcançar condições de regime estacionário em um cilindro ou esfera sólida com geração de calor interna e superfície perfeitamente isolada, pois o calor gerado não pode ser dissipado, levando a um aumento contínuo da temperatura.

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