A superfície exposta de uma parede plana com espessura e condutividade térmica é submetida à radiação de micro-ondas, que causa um aquecimento volumétrico que varia segundo a equação:
em que ) é uma constante. A fronteira em está perfeitamente isolada, enquanto a superfície exposta é mantida a uma temperatura constante To. Determine a distribuição de temperaturas em termos de e To.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma parede plana com espessura e condutividade térmica . A superfície em está sendo aquecida por micro-ondas, causando um aquecimento que varia com conforme a equação:
onde é uma constante em . A outra extremidade da parede, em , está isolada, ou seja, não troca calor com o ambiente. Queremos encontrar a distribuição de temperatura ao longo da parede, em termos de , , , e .
Para resolver isso, vamos usar a equação de condução de calor estável com termo fonte, que relaciona a variação de temperatura com o tempo e a geração interna de calor.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação de condução de calor com geração interna de calor. Em regime permanente (sem variação de temperatura no tempo), a equação fica:
Como é constante, podemos simplificar para:

Passo 3

Agora, substituímos pela expressão dada:
Dividindo ambos os lados por :

Passo 4

Vamos integrar esta equação para encontrar a primeira derivada de :
onde é uma constante de integração.

Passo 5

Integrando novamente para encontrar :
onde é outra constante de integração.

Passo 6

Agora, aplicamos as condições de contorno para determinar e .
Primeira condição: em , :
Isso nos dá:

Passo 7

Segunda condição: em , a parede está isolada, ou seja, sem fluxo de calor, então a derivada da temperatura é zero:
Usando a expressão da primeira derivada:
Simplificando:
Então:

Passo 8

Agora, substituímos e na expressão de :

Passo 9

Vamos simplificar a expressão:

Resposta

A distribuição de temperaturas na parede é dada por:

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Para cada grandeza física listada, indique as dimensões usando a massa como a dimensão primária, e dê as unidades SI e Inglesas típicas:
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