A superfície exposta (x=0) de uma parede plana com espessura L e condutividade térmica k é submetida à radiação de micro-ondas, que causa um aquecimento volumétrico que varia segundo a equação:
dotq(x)=dotq0(1-xL)
em que dotq0(W / m^3 ) é uma constante. A fronteira em x=L está perfeitamente isolada, enquanto a superfície exposta é mantida a uma temperatura constante To. Determine a distribuição de temperaturas T(x) em termos de x, L, k, dotq0 e To.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma parede plana com espessura dotq(x) = dotq0(1 - xL) e condutividade térmica . A superfície em está sendo aquecida por micro-ondas, causando um aquecimento que varia com conforme a equação:
onde é uma constante em . A outra extremidade da parede, em , está isolada, ou seja, não troca calor com o ambiente. Queremos encontrar a distribuição de temperatura ao longo da parede, em termos de , , , e .
Para resolver isso, vamos usar a equação de condução de calor estável com termo fonte, que relaciona a variação de temperatura com o tempo e a geração interna de calor.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação de condução de calor com geração interna de calor. Em regime permanente (sem variação de temperatura no tempo), a equação fica:
ddx(k dTdx) + dotq(x) = 0
Como k d^2Tdx^2 + dotq(x) = 0 é constante, podemos simplificar para:

Passo 3

Agora, substituímos k d^2Tdx^2 + dotq0(1 - xL) = 0 pela expressão dada:
d^2Tdx^2 = -dotq0k(1 - xL)
Dividindo ambos os lados por :

Passo 4

Vamos integrar esta equação para encontrar a primeira derivada de dTdx = -dotq0k ( x - x^22L ) + C1 :
onde é uma constante de integração.

Passo 5

Integrando novamente para encontrar T(x) = -dotq0k ( x^22 - x^36L ) + C1x + C2 :
onde é outra constante de integração.

Passo 6

Agora, aplicamos as condições de contorno para determinar T(0) = -dotq0k (0 - 0) + C1(0) + C2 = T0 e C2 = T0 .
Primeira condição: em , :
Isso nos dá:

Passo 7

Segunda condição: em dTdxg|x=L = 0 , a parede está isolada, ou seja, sem fluxo de calor, então a derivada da temperatura é zero:
0 = -dotq0k ( L - L^22L ) + C1
Usando a expressão da primeira derivada:
0 = -dotq0k ( L - L2 ) + C1
Simplificando:
0 = -dotq0k ( L2 ) + C1
C1 = dotq0 L2k
Então:

Passo 8

Agora, substituímos T(x) = -dotq0k ( x^22 - x^36L ) + dotq0 L2k x + T0 e na expressão de :

Passo 9

Vamos simplificar a expressão:
T(x) = T0 + dotq0k ( Lx2 - x^22 + x^36L )

Resposta

A distribuição de temperaturas T(x) = T0 + dotq0k ( Lx2 - x^22 + x^36L ) na parede é dada por:

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