Um pedaço de fio com 10 metros de comprimento é cortado em duas partes. Uma parte é dobrada no formato de um quadrado, ao passo que a outra é dobrada na forma de um triângulo equilátero. Como deve ser cortado o fio de forma que a área total seja: (b) um mínimo? (Aquadrado
, onde
é o lado do quadrado e
, onde
é o lado do triângulo equilátero)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um fio de 10 metros que precisa ser cortado em duas partes. Uma parte vai virar um quadrado e a outra vai virar um triângulo equilátero. Queremos descobrir como cortar o fio para que a área total dessas duas figuras seja a menor possível. Vamos usar um pouco de geometria e cálculo para isso.
Passo 2
Vamos chamar o comprimento do fio usado para o quadrado de
metros. Como o fio total é de 10 metros, o comprimento usado para o triângulo vai ser
metros.
Passo 3
Para formar um quadrado, cada lado vai medir
metros, já que um quadrado tem 4 lados iguais. A área do quadrado (
) é:
Passo 4
Já para o triângulo equilátero, cada lado vai medir
metros, porque o triângulo tem 3 lados iguais. A área do triângulo (
) é:
Passo 5
A área total (
) é a soma das áreas do quadrado e do triângulo:
Queremos minimizar essa área total.
Passo 6
Para encontrar o mínimo, vamos derivar a função
em relação a
e igualar a zero:
Simplificando:
Passo 7
Vamos resolver para
:
Passo 8
Vamos racionalizar o denominador para simplificar:
Resposta
Para minimizar a área total, o fio deve ser cortado de aproximadamente 4,44 metros para o quadrado e 5,56 metros para o triângulo equilátero.
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; ou seja, calcule o fluxo de
através de
.
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?