Um pedaço de fio com 10 metros de comprimento é cortado em duas partes. Uma parte é dobrada no formato de um quadrado, ao passo que a outra é dobrada na forma de um triângulo equilátero. Como deve ser cortado o fio de forma que a área total seja: (b) um mínimo? (Aquadrado , onde é o lado do quadrado e â, onde é o lado do triângulo equilátero)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um fio de 10 metros que precisa ser cortado em duas partes. Uma parte vai virar um quadrado e a outra vai virar um triângulo equilátero. Queremos descobrir como cortar o fio para que a área total dessas duas figuras seja a menor possível. Vamos usar um pouco de geometria e cálculo para isso.

Passo 2

Vamos chamar o comprimento do fio usado para o quadrado de metros. Como o fio total é de 10 metros, o comprimento usado para o triângulo vai ser metros.

Passo 3

Para formar um quadrado, cada lado vai medir metros, já que um quadrado tem 4 lados iguais. A área do quadrado ( ) é:

Passo 4

Já para o triângulo equilátero, cada lado vai medir metros, porque o triângulo tem 3 lados iguais. A área do triângulo ( â) é:
â

Passo 5

A área total ( ) é a soma das áreas do quadrado e do triângulo:
Queremos minimizar essa área total.

Passo 6

Para encontrar o mínimo, vamos derivar a função em relação a e igualar a zero:
Simplificando:

Passo 7

Vamos resolver para :

Passo 8

Vamos racionalizar o denominador para simplificar:

Resposta

Para minimizar a área total, o fio deve ser cortado de aproximadamente 4,44 metros para o quadrado e 5,56 metros para o triângulo equilátero.

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