Você provavelmente já notou que balões inflados com gás hélio sobem no ar no primeiro dia durante uma festa, mas eles caem no dia seguinte e agem como balões comuns cheios com ar. Isso ocorre porque o hélio no balão vaza lentamente através da parede enquanto o ar vaza por difusão. Considere um balão que é feito de borracha macia de 0,1 mm de espessura e tem um diâmetro de 15 cm quando inflado. A pressão e a temperatura dentro do balão são inicialmente de 110 kPa 25^circ C. A permeabilidade da borracha ao hélio, oxigênio e nitrogênio a 25^circ C são 9,4 cdot 10^-13, 7,05 cdot 10^-13 e 2,6 cdot 10^-13 kmol / m cdot s cdot bar, respectivamente. Determinar as taxas iniciais de difusão de hélio, oxigênio e nitrogênio através da parede do balão e da fração mássica de hélio que escapa do balão durante as primeiras 5 horas assumindo que a pressão de hélio dentro do balão permanece quase constante. Suponha que o ar tenha 21 % de oxigênio e 79 % de nitrogênio em termos molares e tomar as condições de sala em 100 kPa e 25^circ C.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício está pedindo. Temos um balão de hélio feito de borracha com uma certa espessura e dimensões especificadas. Inicialmente, a pressão e a temperatura dentro do balão são conhecidas. A borracha permite que gases como hélio, oxigênio e nitrogênio escapem por difusão. Nosso objetivo é calcular:
  1. As taxas iniciais de difusão desses três gases através da parede do balão.
  2. A fração mássica de hélio que sai do balão nas primeiras 5 horas, assumindo que a pressão de hélio permanece quase constante.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de difusão de gases através de membranas, especificamente a Lei de Fick e a permeabilidade dos materiais aos diferentes gases.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a área da superfície do balão, já que a taxa de difusão depende dessa área. O balão tem um diâmetro de 15 cm, o que significa que o raio A = 4pi r^2 é de 7,5 cm ou 0,075 metros. A área A = 4pi (0,075)^2 approx 0,0707 , m^2 de uma esfera é dada por:
Substituindo:

Passo 3

Agora, vamos converter a espessura da borracha para metros. A espessura l = 0,1 , mm = 0,0001 , m é de 0,1 mm, ou seja:

Passo 4

Vamos determinar as pressões parciais de cada gás dentro e fora do balão. A pressão total dentro do balão é de 110 kPa, e fora é de 100 kPa. Considerando que o ar fora tem 21% de oxigênio e 79% de nitrogênio, as pressões parciais são:
Dentro do balão:
  • Pressão de hélio:
Fora do balão:
  • Pressão de oxigênio:
  • Pressão de nitrogênio:
  • Pressão de hélio fora: (assumindo que não há hélio no ambiente externo)

Passo 5

Vamos usar a expressão para a taxa de difusão J = P times De de cada gás através da borracha, que é dada por:
De
Onde:
  • De é a permeabilidade do material ao gás.
  • De é a diferença de pressão do gás através da parede.
  • é a espessura da parede.
Vamos calcular para cada gás:
Para o hélio:
Para o oxigênio:
Para o nitrogênio:
Os sinais negativos indicam que o gás está indo para fora do balão.

Passo 6

Agora, aplicamos a fórmula da taxa de difusão para cada gás:
Para o hélio:
JHe = 9,4 times 10^-13 , kmol/(m·s·bar) times 110 , kPa0,0001 , m = 9,4 times 10^-13 times 1100,0001 = 1,034 times 10^-6 , kmol/(m²·s) ²
Convertendo kPa para bar (1 bar = 100 kPa):
JHe = 9,4 times 10^-13 times 1,10,0001 = 1,034 times 10^-6 , kmol/(m²·s) ²
Para o oxigênio:
JO2 = 7,05 times 10^-13 times (-21)0,0001 = -1,4805 times 10^-7 , kmol/(m²·s) ²
Para o nitrogênio:
JN2 = 2,6 times 10^-13 times (-79)0,0001 = -2,054 times 10^-7 , kmol/(m²·s) ²
Os valores negativos indicam a direção do fluxo.

Passo 7

Agora, vamos calcular a fração mássica de hélio que escapa nas primeiras 5 horas. Primeiro, precisamos converter o tempo para segundos:
5 , horas = 5 times 3600 = 18000 , s
A massa de hélio que escapa, mHe = JHe times A times t times MHe , pode ser calculada usando:
mHe = 1,034 times 10^-6 , kmol/(m²·s) times 0,0707 , m² times 18000 , s times 4 , kg/kmol
Onde mHe approx 1,034 times 10^-6 times 0,0707 times 18000 times 4 approx 0,0526 , kg , (52,6 , g) é a massa molar do hélio (aproximadamente 4 kg/kmol).
Substituindo os valores:
PV = nRT ²²
n = PVRT = 110 times 10^3 times 0,001778,314 times 298 approx 0,078 , kmol
Agora, vamos calcular a massa total de hélio no balão inicialmente. Usamos a equação dos gases ideais:
mTotal He = n times MHe = 0,078 times 4 = 0,312 , kg , (312 , g)
Onde:
  • Fração = mHemTotal He = 0,05260,312 approx 0,168 , (16,8%)
  • é o volume do balão:
  • (ajustar unidades conforme necessário)
  • (25°C)
Resolvendo para :
Massa total de hélio:
Finalmente, a fração mássica de hélio que escapou:
çã

Resposta

As taxas iniciais de difusão são ², ² e ². A fração mássica de hélio que escapa do balão nas primeiras 5 horas é aproximadamente 16,8 %.

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