Calcule, caso existam, os seguintes limites (aqui,
e
):
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o limite quando
se aproxima de 1 da função
. Isso envolve conhecimentos de limites em funções racionais e técnicas para resolver indeterminações. Vamos usar algumas regras básicas de limites e talvez fatoração para simplificar a expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar substituir
diretamente na função para ver o que acontece. Substituindo:
Então, ao substituir
, obtemos
, que é uma indeterminação. Isso significa que não podemos concluir o valor do limite dessa forma e precisamos simplificar a expressão.
Passo 3
Quando encontramos uma indeterminação do tipo
, uma das maneiras de resolver é fatorar o numerador e o denominador para cancelar termos comuns. Vamos começar fatorando o numerador
.
Sabemos que
é uma raiz do numerador porque quando
, o numerador é zero. Usando o teorema do fator, podemos dizer que
é um fator do numerador.
Vamos fazer a divisão polinomial para encontrar os outros fatores:
Dividindo
por
, obtemos:
Agora, vamos fatorar
:
Portanto, o numerador fatorado fica:
Passo 4
Agora, vamos fatorar o denominador
. Sabemos que
também faz o denominador ser zero, então
é um fator.
Dividindo
por
, obtemos:
Agora, vamos fatorar
:
Portanto, o denominador fatorado fica:
Passo 5
Agora que temos o numerador e o denominador fatorados, podemos simplificar a expressão original:
Os fatores
cancelam, já que são iguais no numerador e no denominador.
Passo 6
Agora, podemos calcular o limite substituindo
na expressão simplificada:
Resposta
O limite é
.