Calcule, caso existam, os seguintes limites (aqui, a>0 e m, n in N ): lim x 1 3 x^3-4 x^2-x+22 x^3-3 x^2+1;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o limite quando se aproxima de 1 da função . Isso envolve conhecimentos de limites em funções racionais e técnicas para resolver indeterminações. Vamos usar algumas regras básicas de limites e talvez fatoração para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir Numerador: 3(1)^3 - 4(1)^2 - 1 + 2 = 3 - 4 - 1 + 2 = 0 diretamente na função para ver o que acontece. Substituindo:
Denominador: 2(1)^3 - 3(1)^2 + 1 = 2 - 3 + 1 = 0
Então, ao substituir , obtemos , que é uma indeterminação. Isso significa que não podemos concluir o valor do limite dessa forma e precisamos simplificar a expressão.

Passo 3

Quando encontramos uma indeterminação do tipo 3x^3 - 4x^2 - x + 2 = (x - 1)(3x^2 - x - 2) , uma das maneiras de resolver é fatorar o numerador e o denominador para cancelar termos comuns. Vamos começar fatorando o numerador 3x^2 - x - 2 = (3x + 2)(x - 1) .
Sabemos que 3x^3 - 4x^2 - x + 2 = (x - 1)(3x + 2)(x - 1) = (x - 1)^2(3x + 2) é uma raiz do numerador porque quando , o numerador é zero. Usando o teorema do fator, podemos dizer que é um fator do numerador.
Vamos fazer a divisão polinomial para encontrar os outros fatores:
Dividindo por , obtemos:
Agora, vamos fatorar :
Portanto, o numerador fatorado fica:

Passo 4

Agora, vamos fatorar o denominador 2x^3 - 3x^2 + 1 = (x - 1)(2x^2 - x - 1) . Sabemos que 2x^2 - x - 1 = (2x + 1)(x - 1) também faz o denominador ser zero, então 2x^3 - 3x^2 + 1 = (x - 1)(2x + 1)(x - 1) = (x - 1)^2(2x + 1) é um fator.
Dividindo por , obtemos:
Agora, vamos fatorar :
Portanto, o denominador fatorado fica:

Passo 5

Agora que temos o numerador e o denominador fatorados, podemos simplificar a expressão original:
3x^3 - 4x^2 - x + 22x^3 - 3x^2 + 1 = (x - 1)^2(3x + 2)(x - 1)^2(2x + 1) = 3x + 22x + 1
Os fatores cancelam, já que são iguais no numerador e no denominador.

Passo 6

Agora, podemos calcular o limite substituindo limx to 1 3x + 22x + 1 = 3(1) + 22(1) + 1 = 3 + 22 + 1 = 53 na expressão simplificada:

Resposta

O limite é .

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