O potencial elétrico, em volts, em qualquer ponto do plano xy é dado por e, a distância é medida em metros. Descreva o vetor unitário na direção e sentido associado à taxa de variação máxima.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos dá o potencial elétrico no plano xy, que é volts. Queremos encontrar o vetor unitário na direção e sentido da taxa de variação máxima desse potencial. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o gradiente.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que a taxa de variação máxima de uma função em várias variáveis ocorre na direção do seu gradiente. O gradiente de , representado por , aponta na direção onde aumenta mais rapidamente, e a magnitude desse vetor representa a taxa dessa variação.
Passo 3
Vamos calcular o gradiente . O gradiente é composto pelas derivadas parciais de em relação a e :
Passo 4
Calculando a derivada parcial de em relação a :
Passo 5
Calculando a derivada parcial de em relação a :
Passo 6
Então, o gradiente fica:
Passo 7
Agora, para encontrar o vetor unitário na direção do gradiente, precisamos normalizar . Primeiro, calculamos a magnitude do gradiente:
Passo 8
Finalmente, o vetor unitário na direção do gradiente é dado por:
Resposta
O vetor unitário na direção e sentido da taxa de variação máxima é: