A superfície é dada por:
Qual é o tipo de superfície? Esboce o gráfico.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem a equação da superfície:
A pergunta é: Qual é o tipo dessa superfície? E também, como esboçar o gráfico dela. Então, vamos trabalhar com geometria analítica aqui, especialmente estudando as diferentes superfícies quadricas. Para resolver isso, vamos precisar identificar a forma geral da equação e associá-la com as superfícies que conhecemos, como esferas, cilindros, paraboloides, hipérboles, etc.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das formas gerais das superfícies quadricas. A equação fornecida é:
Compare isso com a equação padrão de um hiperboloide de uma folha, que é:
Aqui, , , e são constantes que determinam a “abertura” do hiperboloide nas direções , e . No nosso caso, temos , então a equação se encaixa perfeitamente nessa forma.

Passo 3

Então, concluímos que a superfície dada pela equação é um hiperboloide de uma folha. Esse tipo de superfície é caracterizado por ter uma forma semelhante a um prato côncavo que se expande infinitamente em todas as direções ao longo do eixo .

Passo 4

Agora, vamos falar sobre como esboçar o gráfico dessa superfície. Um hiperboloide de uma folha pode ser visualizado como uma série de círculos que aumentam de tamanho conforme nos afastamos do centro ao longo do eixo . Para desenhar, podemos seguir estes passos:
  1. Plano xy: Quando , a equação fica , que é um círculo de raio 1 no plano xy.
  2. Planos z positivos e negativos: Para valores de diferentes de zero, a equação representa círculos com raio crescente à medida que aumenta.
  3. Eixos: O hiperboloide se estende indefinidamente ao longo do eixo , e a largura dos círculos aumenta proporcionalmente ao aumento de .

Resposta

A superfície definida por é um hiperboloide de uma folha. O esboço gráfico mostra uma forma semelhante a um prato côncavo que se expande infinitamente ao longo do eixo , com círculos de raio crescente conforme nos afastamos do centro.

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