A superfície é dada por:
Qual é o tipo de superfície? Esboce o gráfico.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem a equação da superfície:
A pergunta é: Qual é o tipo dessa superfície? E também, como esboçar o gráfico dela. Então, vamos trabalhar com geometria analítica aqui, especialmente estudando as diferentes superfícies quadricas. Para resolver isso, vamos precisar identificar a forma geral da equação e associá-la com as superfícies que conhecemos, como esferas, cilindros, paraboloides, hipérboles, etc.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar das formas gerais das superfícies quadricas. A equação fornecida é:
Compare isso com a equação padrão de um hiperboloide de uma folha, que é:
Aqui,
,
, e
são constantes que determinam a “abertura” do hiperboloide nas direções
,
e
. No nosso caso, temos
, então a equação se encaixa perfeitamente nessa forma.
Passo 3
Então, concluímos que a superfície dada pela equação
é um hiperboloide de uma folha. Esse tipo de superfície é caracterizado por ter uma forma semelhante a um prato côncavo que se expande infinitamente em todas as direções ao longo do eixo
.
Passo 4
Agora, vamos falar sobre como esboçar o gráfico dessa superfície. Um hiperboloide de uma folha pode ser visualizado como uma série de círculos que aumentam de tamanho conforme nos afastamos do centro ao longo do eixo
. Para desenhar, podemos seguir estes passos:
- Plano xy: Quando
, a equação fica , que é um círculo de raio 1 no plano xy. - Planos z positivos e negativos: Para valores de
diferentes de zero, a equação representa círculos com raio crescente à medida que aumenta. - Eixos: O hiperboloide se estende indefinidamente ao longo do eixo
, e a largura dos círculos aumenta proporcionalmente ao aumento de .
Resposta
A superfície definida por
é um hiperboloide de uma folha. O esboço gráfico mostra uma forma semelhante a um prato côncavo que se expande infinitamente ao longo do eixo
, com círculos de raio crescente conforme nos afastamos do centro.
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e as retas
e
Encontre o domínio da função.
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