Uma reta finita de comprimento L e densidade de massa lambda encontra-se ao longo do eixo y de um sistema de coordenadas. Sabendo que o campo gravitacional é dado por:
g=-G integral d mr^2 r
Determine o campo gravitacional em um ponto x afastado do ponto médio da reta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre encontrar o campo gravitacional gerado por uma reta finita de comprimento $ L $ e densidade de massa $ \lambda $ que está alinhada ao longo do eixo $ y $. Para resolver isso, vamos precisar usar a definição de campo gravitacional e fazer uma integração ao longo da reta.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que o campo gravitacional $ \vec{g} $ em um ponto é dado pela soma de todas as contribuições das partes da massa que geram esse campo. A fórmula que vamos usar é:
g
Aqui, $ G $ é a constante gravitacional, $ d m $ é um elemento infinitesimal de massa, $ r $ é a distância entre o elemento de massa e o ponto onde estamos calculando o campo, e $ \hat{r} $ é o vetor unitário na direção de $ \vec{r} $.

Passo 3

Vamos considerar que a reta está ao longo do eixo $ y $, e queremos encontrar o campo em um ponto $ x $ afastado do ponto médio da reta, ao longo do eixo $ x $. Assim, a distância $ r $ de um ponto na reta ao ponto onde estamos calculando o campo é:
y
E o vetor unitário $ \hat{r} $ tem componentes:
x

Passo 4

Como a reta é finita e vai de $ y = -\frac{L}{2} $ a $ y = \frac{L}{2} $, vamos expressar o elemento de massa $ d m $ em termos de $ \lambda $:
y = -L2
Então, substituindo na expressão do campo:
y = L2

Passo 5

Vamos separar as componentes $ \hat{i} $ e $ \hat{j} $:
i
Observamos que a segunda integral é ímpar em $ y $ e, portanto, se cancela ao integrar de $ -\frac{L}{2} $ a $ \frac{L}{2} $. Assim, só precisamos calcular a componente $ \hat{i} $.

Passo 6

Calculando a integral restante:
integral dy(x^2 + y^2)^3/2 = yx^2 raizx^2 + y^2
Aplicando os limites de integração:
[ yx^2 raizx^2 + y^2 ]-L2^L2 = L2x^2 raizx^2 + (L2)^2 - ( -L2x^2 raizx^2 + (L2)^2 ) = Lx^2 raizx^2 + (L2)^2

Passo 7

Substituindo de volta na expressão do campo:
g = -G lambda x i cdot Lx^2 raizx^2 + (L2)^2 = -G lambda Lx raizx^2 + (L2)^2 i

Resposta

O campo gravitacional no ponto $ x $ afastado do ponto médio da reta é dado por:
x

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