Uma reta finita de comprimento
e densidade de massa
encontra-se ao longo do eixo y de um sistema de coordenadas. Sabendo que o campo gravitacional é dado por:
Determine o campo gravitacional em um ponto x afastado do ponto médio da reta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre encontrar o campo gravitacional gerado por uma reta finita de comprimento $ L $ e densidade de massa $ \lambda $ que está alinhada ao longo do eixo $ y $. Para resolver isso, vamos precisar usar a definição de campo gravitacional e fazer uma integração ao longo da reta.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que o campo gravitacional $ \vec{g} $ em um ponto é dado pela soma de todas as contribuições das partes da massa que geram esse campo. A fórmula que vamos usar é:
Aqui, $ G $ é a constante gravitacional, $ d m $ é um elemento infinitesimal de massa, $ r $ é a distância entre o elemento de massa e o ponto onde estamos calculando o campo, e $ \hat{r} $ é o vetor unitário na direção de $ \vec{r} $.
Passo 3
Vamos considerar que a reta está ao longo do eixo $ y $, e queremos encontrar o campo em um ponto $ x $ afastado do ponto médio da reta, ao longo do eixo $ x $. Assim, a distância $ r $ de um ponto na reta ao ponto onde estamos calculando o campo é:
E o vetor unitário $ \hat{r} $ tem componentes:
Passo 4
Como a reta é finita e vai de $ y = -\frac{L}{2} $ a $ y = \frac{L}{2} $, vamos expressar o elemento de massa $ d m $ em termos de $ \lambda $:
Então, substituindo na expressão do campo:
Passo 5
Vamos separar as componentes $ \hat{i} $ e $ \hat{j} $:
Observamos que a segunda integral é ímpar em $ y $ e, portanto, se cancela ao integrar de $ -\frac{L}{2} $ a $ \frac{L}{2} $. Assim, só precisamos calcular a componente $ \hat{i} $.
Passo 6
Calculando a integral restante:
Aplicando os limites de integração:
Passo 7
Substituindo de volta na expressão do campo:
Resposta
O campo gravitacional no ponto $ x $ afastado do ponto médio da reta é dado por: