(PPGF/UFCE-2017.2A - adaptada) Um gás ideal monoatômico é submetido a um processo adiabático, no qual seu volume final é metade de seu volume inicial V0. Sendo Po a pressão inicial do gás e gamma=cPcV a razão das capacidades térmicas molares a pressão constante cP e a volume constante cV, respectivamente, determine a pressão ao final do processo. (0,5 ponto)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um gás ideal monoatômico que passa por um processo adiabático, onde o volume final é metade do volume inicial. Vamos precisar usar os conceitos de processos adiabáticos e a relação entre pressão e volume para gases ideais. A gente também vai usar a razão das capacidades térmicas gamma = cPcV.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um processo adiabático. É quando o gás não troca calor com o ambiente, ou seja, não tem transferência de calor ( Q = 0). Nesses processos, a relação entre pressão ( P) e volume ( V) do gás é dada por:
P cdot V^gamma = constante
Isso significa que, se a gente conhece a pressão e o volume em um estado, pode relacionar com outro estado usando essa fórmula.

Passo 3

Vamos aplicar essa relação ao nosso caso. Sabemos que o volume final ( Vf) é metade do volume inicial ( V0), ou seja:
Vf = V02
Queremos encontrar a pressão final ( Pf). Usando a relação adiabática:
P0 cdot V0^gamma = Pf cdot Vf^gamma

Passo 4

Agora, vamos isolar Pf na equação:
Pf = P0 cdot ( V0Vf )^gamma
Substituindo Vf = V02 na equação:
Pf = P0 cdot ( V0V02 )^gamma

Passo 5

Simplificando a fração dentro do parênteses:
V0V02 = 2
Então, a equação fica:
Pf = P0 cdot 2^gamma

Resposta

A pressão final do gás é:
Pf = P0 cdot 2^gamma

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