A baixas temperaturas, o calor específico molar de um sólido como o NaCl apresenta uma dependência da temperatura dada aproximadamente por
cV=234 R(TTheta)^3
onde R é a constante universal dos gases e Theta é a temperatura de Debye, um parâmetro característico do material. Para o NaCl, Theta=300 K, e a expressão acima é válida para T pequeno comparado com Theta. Determine a quantidade de calor acrescentada, a volume constante, a 1,0 mol de NaCl ao elevar sua temperatura de 1,0 a 9,0 K. (0,5 ponto)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre a quantidade de calor adicionada a 1 mol de NaCl quando a temperatura aumenta de 1,0 K para 9,0 K a volume constante. Vamos precisar usar a fórmula do calor específico molar à volume constante, que está relacionada à temperatura através de uma expressão dada. Para resolver, vamos integrar essa expressão para encontrar a quantidade total de calor.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a expressão do calor específico molar à volume constante fornecida:
cV = 234, R (TTheta)^3
Aqui, é a constante universal dos gases e é a temperatura de Debye, que para o NaCl é 300 K.

Passo 3

A quantidade de calor Q = n integralT1^T2 cV , dT adicionada a um sistema a volume constante pode ser calculada pela integral do calor específico em relação à temperatura:
Onde:
  • mol (quantidade de substância)
  • K (temperatura inicial)
  • K (temperatura final)

Passo 4

Substituindo a expressão de Q = 1,0 times integral1,0^9,0 234, R (T300)^3 dT na integral:
Q = 234, R times 1300^3 integral1,0^9,0 T^3 dT
Podemos simplificar:

Passo 5

Calculando a integral integral T^3 dT = T^44 :
9^44 - 1^44 = 65614 - 14 = 65604 = 1640
Aplicando os limites de integração:

Passo 6

Substituindo de volta na expressão de Q = 234, R times 127,000 times 1640 :
Q = 234, R times 164027,000
Simplificando:

Passo 7

Calculando a parte numérica:
164027,000 approx 0,0607
Então:
Q = 234, R times 0,0607

Passo 8

Substituindo Q = 234 times 8,314 times 0,0607 J/mol·K:
Q approx 234 times 8,314 times 0,0607 approx 117,9 J
Calculando:

Resposta

A quantidade de calor acrescentada é aproximadamente 118 J.

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