A baixas temperaturas, o calor específico molar de um sólido como o NaCl apresenta uma dependência da temperatura dada aproximadamente por
onde
é a constante universal dos gases e
é a temperatura de Debye, um parâmetro característico do material. Para o
, e a expressão acima é válida para
pequeno comparado com
. Determine a quantidade de calor acrescentada, a volume constante, a
de NaCl ao elevar sua temperatura de 1,0 a 9,0 K. (0,5 ponto)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre a quantidade de calor adicionada a 1 mol de NaCl quando a temperatura aumenta de 1,0 K para 9,0 K a volume constante. Vamos precisar usar a fórmula do calor específico molar à volume constante, que está relacionada à temperatura através de uma expressão dada. Para resolver, vamos integrar essa expressão para encontrar a quantidade total de calor.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a expressão do calor específico molar à volume constante fornecida:
Aqui,
é a constante universal dos gases e
é a temperatura de Debye, que para o NaCl é 300 K.
Passo 3
A quantidade de calor
adicionada a um sistema a volume constante pode ser calculada pela integral do calor específico em relação à temperatura:
Onde:
-
mol (quantidade de substância) -
K (temperatura inicial) -
K (temperatura final)
Passo 4
Substituindo a expressão de
na integral:
Podemos simplificar:
Passo 5
Calculando a integral
:
Aplicando os limites de integração:
Passo 6
Substituindo de volta na expressão de
:
Simplificando:
Passo 7
Calculando a parte numérica:
Então:
Passo 8
Substituindo
J/mol·K:
Calculando:
Resposta
A quantidade de calor acrescentada é aproximadamente 118 J.