O coeficiente de dilatação térmica volumétrica é definido
operacionalmente como:
Já o coeficiente de compressibilidade é definido operacionalmente como:
Usando a equação de Clapeyron, mostre que, para um gás ideal valem as seguintes identidades:
operacionalmente como:
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas definições importantes:
-
Coeficiente de Dilatação Térmica Volumétrica (
): Isso mede como o volume de um gás muda com a temperatura, mantendo a pressão constante. -
Coeficiente de Compressibilidade (
): Isso mede como o volume de um gás muda com a pressão, mantendo a temperatura constante.
Queremos usar a equação de Clapeyron para mostrar que, para um gás ideal:
Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a equação de estado dos gases ideais, que é uma forma da equação de Clapeyron para um gás ideal:
Onde:
-
é a pressão, -
é o volume, -
é a quantidade de matéria (mols), -
é a constante dos gases, -
é a temperatura.
Para simplificar, vamos considerar
e
como constantes, então podemos escrever:
Passo 3
Agora, vamos calcular o coeficiente de dilatação térmica volumétrica (
) usando a definição:
Primeiro, encontramos a derivada de
em relação a
, mantendo
constante.
A equação que temos é
, então:
Passo 4
Substituímos essa derivada na definição de
:
Mas sabemos que
, então:
Passo 5
Agora, vamos calcular o coeficiente de compressibilidade (
) usando a definição:
Primeiro, encontramos a derivada de
em relação a
, mantendo
constante.
A equação que temos é
, então:
Passo 6
Substituímos essa derivada na definição de
:
Sabemos que
, então:
Resposta
Para um gás ideal, mostramos que: