O coeficiente de dilatação térmica volumétrica é definido
operacionalmente como:
gamma=1V(partial Vpartial T)P
Já o coeficiente de compressibilidade é definido operacionalmente como:
kappa=-1V(partial Vpartial P)T
Usando a equação de Clapeyron, mostre que, para um gás ideal valem as seguintes identidades:
gamma=1T e kappa=1P cdot(0,5 ponto )

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas definições importantes:
  1. Coeficiente de Dilatação Térmica Volumétrica ( gamma):
    gamma = 1V(partial Vpartial T)P
    Isso mede como o volume de um gás muda com a temperatura, mantendo a pressão constante.
  2. Coeficiente de Compressibilidade ( kappa):
    kappa = -1V(partial Vpartial P)T
    Isso mede como o volume de um gás muda com a pressão, mantendo a temperatura constante.
Queremos usar a equação de Clapeyron para mostrar que, para um gás ideal:
  • gamma = 1T
  • kappa = 1P
Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a equação de estado dos gases ideais, que é uma forma da equação de Clapeyron para um gás ideal:
PV = nRT
Onde:
  • P é a pressão,
  • V é o volume,
  • n é a quantidade de matéria (mols),
  • R é a constante dos gases,
  • T é a temperatura.
Para simplificar, vamos considerar n e R como constantes, então podemos escrever:
PV = RT Rightarrow V = RTP

Passo 3

Agora, vamos calcular o coeficiente de dilatação térmica volumétrica ( gamma) usando a definição:
gamma = 1V(partial Vpartial T)P
Primeiro, encontramos a derivada de V em relação a T, mantendo P constante.
A equação que temos é V = RTP, então:
partial Vpartial T = RP

Passo 4

Substituímos essa derivada na definição de gamma:
gamma = 1V cdot RP
Mas sabemos que V = RTP, então:
gamma = 1RTP cdot RP = PRT cdot RP = 1T

Passo 5

Agora, vamos calcular o coeficiente de compressibilidade ( kappa) usando a definição:
kappa = -1V(partial Vpartial P)T
Primeiro, encontramos a derivada de V em relação a P, mantendo T constante.
A equação que temos é V = RTP, então:
partial Vpartial P = -RTP^2

Passo 6

Substituímos essa derivada na definição de kappa:
kappa = -1V cdot (-RTP^2) = 1V cdot RTP^2
Sabemos que V = RTP, então:
kappa = 1RTP cdot RTP^2 = PRT cdot RTP^2 = 1P

Resposta

Para um gás ideal, mostramos que:
gamma = 1T e kappa = 1P

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