A precipitação pluviométrica anual numa certa região tem desvio padrão sigma=3,1 e média desconhecida. Para os anos, foram obtidos os seguintes resultados: 30,5; 34,1; 27,9; 35,0; 26,9; 30,2; 28,3; 31,7; 25,8.
© Supondo que, na realidade, mu=33,0, qual a probabilidade de tirarmos uma conclusão errada?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dados de precipitação anual de uma região com desvio padrão conhecido de sigma = 3,1. A média mu é desconhecida, mas estamos supondo que, na realidade, mu = 33,0. Queremos saber qual a probabilidade de tirarmos uma conclusão errada com base nesses dados. Para resolver isso, vamos precisar calcular a média da amostra, o erro padrão e usar a distribuição normal para encontrar essa probabilidade.

Passo 2

Vamos começar calculando a média da amostra. Somamos todos os valores e dividimos pelo número de observações.
barx = 30,5 + 34,1 + 27,9 + 35,0 + 26,9 + 30,2 + 28,3 + 31,7 + 25,89
# Calculando:
barx = 2709 = 30,0

Passo 3

Agora, vamos calcular o erro padrão da média. O erro padrão (EP) é dado por:
EP = sigmaraizn
Onde sigma = 3,1 e n = 9.
EP = 3,1raiz9 = 3,13 = 1,033

Passo 4

Em seguida, calculamos o valor do teste z, que nos ajuda a determinar quão distante a média da amostra está da média real.
z = barx - muEP = 30,0 - 33,01,033 = -3,01,033 approx -2,90

Passo 5

Agora, vamos encontrar a probabilidade associada a esse valor de z. Como estamos lidando com um teste bilateral (a conclusão errada pode ser mu maior ou menor que 33), precisamos considerar as duas extremidades da distribuição.
Usando uma tabela de distribuição normal padrão ou uma calculadora, encontramos que a probabilidade de z ser menor que -2,90 ou maior que 2,90 é aproximadamente 0,0038 em cada cauda.
Então, a probabilidade total de tirar uma conclusão errada é:
P = 2 times 0,0019 = 0,0038

Resposta

A probabilidade de tirarmos uma conclusão errada é de aproximadamente 0,38%.

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