Seja Z uma variável aleatória Normal padrão, determine o valor de z em cada caso: P(-1,24

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma variável aleatória Z que segue uma distribuição Normal padrão. O que a gente precisa encontrar é o valor de z tal que a probabilidade de Z estar entre -1,24 e z seja igual a 0,8. Para isso, vamos precisar usar a tabela da distribuição normal e entender como calcular probabilidades nessa distribuição.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma distribuição Normal padrão. Ela é uma distribuição contínua simétrica em torno de zero, onde a média é 0 e o desvio padrão é 1. As probabilidades são calculadas usando a função de distribuição acumulada (CDF), que nos dá a probabilidade de Z ser menor ou igual a um certo valor.

Passo 3

Queremos encontrar z tal que P(-1,24 < Z <= z) = 0,8. Isso significa que a área sob a curva da distribuição Normal padrão entre -1,24 e z é 0,8. Para encontrar z, podemos usar a propriedade de simetria da distribuição normal e a tabela Z.

Passo 4

Primeiro, vamos calcular a probabilidade de Z ser menor ou igual a -1,24. Usando a tabela Z, encontramos que P(Z <= -1,24) approx 0,1075. Isso significa que 10,75% da área está à esquerda de -1,24.

Passo 5

Sabemos que P(-1,24 < Z <= z) = P(Z <= z) - P(Z <= -1,24) = 0,8. Já temos P(Z <= -1,24) approx 0,1075, então:
P(Z <= z) - 0,1075 = 0,8

Passo 6

Agora, isolamos P(Z <= z):
P(Z <= z) = 0,8 + 0,1075 = 0,9075
Ou seja, queremos encontrar z tal que P(Z <= z) = 0,9075.

Passo 7

Para encontrar z, consultamos novamente a tabela Z e buscamos o valor que corresponde a uma probabilidade acumulada de aproximadamente 0,9075. Observando a tabela, vemos que P(Z <= 1,31) approx 0,9049 e P(Z <= 1,32) approx 0,9066.

Passo 8

Interpolando entre esses valores, podemos estimar que:
z approx 1,32

Resposta

O valor de z que satisfaz P(-1,24 < Z <= z) = 0,8 é aproximadamente z = 1,32.

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