Suponha que o peso em gramas do conteúdo de pacotes de salgadinho siga uma distribuição normal com média 500 g e desvio padrão 85 g . Sorteia-se uma amostra de 50 pacotes.
Calcule a probabilidade de obter peso médio:
entre 500 e 530 gramas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício de estatística que envolve a distribuição normal. A gente sabe que o peso dos pacotes de salgadinho tem uma média de 500 gramas e um desvio padrão de 85 gramas. Tiramos uma amostra de 50 pacotes e queremos saber qual a probabilidade de o peso médio dessa amostra ficar entre 500 e 530 gramas. Para resolver isso, vamos usar conceitos de distribuição normal e distribuição da média amostral.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a distribuição da média amostral. Quando a gente tira uma amostra de tamanho n de uma população com média μ e desvio padrão σ, a média dessa amostra também segue uma distribuição normal com média μ e desvio padrão σ dividido pela raiz quadrada de n. Esse desvio padrão é chamado de erro padrão.
A fórmula do erro padrão é:
SE = sigmaraizn
Aqui, σ = 85 g e n = 50, então:
SE = 85raiz50 approx 857,071 approx 12,02 , g

Passo 3

Agora, vamos calcular os valores z para os pesos 500 g e 530 g. O valor z nos mostra quantos desvios padrão a nossa média amostral está distante da média da população.
A fórmula para z é:
z = barx - muSE
Para barx = 500 g:
z1 = 500 - 50012,02 = 0
Para barx = 530 g:
z2 = 530 - 50012,02 approx 3012,02 approx 2,50

Passo 4

Com os valores z calculados, precisamos encontrar a probabilidade correspondente a cada z na tabela da distribuição normal padrão.
Para z1 = 0, a probabilidade acumulada é 0,5 (50%), porque a média divide a distribuição ao meio.
Para z2 = 2,50, consultando uma tabela ou usando uma calculadora de distribuição normal, encontramos que a probabilidade acumulada é aproximadamente 0,9938 (99,38%).

Passo 5

Para encontrar a probabilidade de a média estar entre 500 g e 530 g, subtraímos a probabilidade menor da maior:
P(500 <= barx <= 530) = P(z2) - P(z1) = 0,9938 - 0,5 = 0,4938
Ou seja, 49,38%.

Resposta

A probabilidade de obter um peso médio entre 500 e 530 gramas é aproximadamente 49,38%.

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