O nível de água de um reservatório municipal é normalmente reduzido na época de estiagem. No primeiro dia desse período, os técnicos do Departamento de Água verificaram que o nível do reservatório indicava um volume de
litros e previram que o abastecimento seria normal por mais 60 dias. O consumo de água dessa cidade é de
litros/dia e foi previsto que a alimentação do reservatório seria somente de
litros/dia (onde t é contado em dias, a partir do
dia de estiagem). Está correta a previsão dos técnicos do Departamento de Água? (R: Sim, após 60 dias o volume será
)
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem um reservatório com um volume inicial de
litros no primeiro dia de estiagem. Os técnicos disseram que o abastecimento da cidade vai ser normal por mais 60 dias. O consumo diário é de
litros, e a água que entra no reservatório todo dia é de
litros, onde
é o número de dias desde o início da estiagem. Vamos usar conceitos de cálculo para verificar se essa previsão está correta, ou seja, se após 60 dias o volume do reservatório será de
litros.
Passo 2
Primeiro, vamos modelar como o volume de água no reservatório muda ao longo do tempo. A quantidade de água que sai do reservatório é o consumo diário da cidade, que é constante:
litros/dia. A quantidade de água que entra no reservatório é variável e dada por
litros/dia.
Então, a taxa de variação do volume de água no reservatório em relação ao tempo é:
Passo 3
Para encontrar o volume de água no reservatório após
dias, precisamos integrar essa taxa de variação desde o início da estiagem até o dia
. A equação diferencial fica:
Integrando ambos os lados em relação a
:
Onde
litros é o volume inicial.
Passo 4
Vamos resolver a integral:
A integral de
é
, e a integral de
é
. Então:
Como estamos calculando a integral definida desde
até
, a constante
pode ser absorvida na condição inicial.
Passo 5
Aplicando a condição inicial
litros:
Simplificando:
Portanto, a expressão para
fica:
Passo 6
Agora, vamos calcular o volume depois de 60 dias substituindo
:
Calculando cada termo:
Somando tudo:
Resposta
Sim, após 60 dias o volume do reservatório será aproximadamente
litros, confirmando a previsão dos técnicos do Departamento de Água.