O nível de água de um reservatório municipal é normalmente reduzido na época de estiagem. No primeiro dia desse período, os técnicos do Departamento de Água verificaram que o nível do reservatório indicava um volume de 10^9 litros e previram que o abastecimento seria normal por mais 60 dias. O consumo de água dessa cidade é de 10^7 litros/dia e foi previsto que a alimentação do reservatório seria somente de 10^6 cdot e^-t / 100 litros/dia (onde t é contado em dias, a partir do 1^0 dia de estiagem). Está correta a previsão dos técnicos do Departamento de Água? (R: Sim, após 60 dias o volume será 4,45 times 10^8 L )

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem um reservatório com um volume inicial de 10^9 litros no primeiro dia de estiagem. Os técnicos disseram que o abastecimento da cidade vai ser normal por mais 60 dias. O consumo diário é de 10^7 litros, e a água que entra no reservatório todo dia é de 10^6 cdot e^-t / 100 litros, onde t é o número de dias desde o início da estiagem. Vamos usar conceitos de cálculo para verificar se essa previsão está correta, ou seja, se após 60 dias o volume do reservatório será de 4,45 times 10^8 litros.

Passo 2

Primeiro, vamos modelar como o volume de água no reservatório muda ao longo do tempo. A quantidade de água que sai do reservatório é o consumo diário da cidade, que é constante: C = 10^7 litros/dia. A quantidade de água que entra no reservatório é variável e dada por I(t) = 10^6 cdot e^-t / 100 litros/dia.
Então, a taxa de variação do volume de água no reservatório em relação ao tempo é:
dVdt = I(t) - C = 10^6 cdot e^-t / 100 - 10^7

Passo 3

Para encontrar o volume de água no reservatório após t dias, precisamos integrar essa taxa de variação desde o início da estiagem até o dia t. A equação diferencial fica:
dVdt = 10^6 cdot e^-t / 100 - 10^7
Integrando ambos os lados em relação a t:
V(t) = integral (10^6 cdot e^-t / 100 - 10^7) dt + V0
Onde V0 = 10^9 litros é o volume inicial.

Passo 4

Vamos resolver a integral:
V(t) = 10^6 integral e^-t / 100 dt - 10^7 integral dt + 10^9
A integral de e^-t / 100 dt é -100 cdot e^-t / 100 + C, e a integral de dt é t + C. Então:
V(t) = 10^6 cdot (-100) cdot e^-t / 100 - 10^7 cdot t + 10^9 + C
Como estamos calculando a integral definida desde 0 até t, a constante C pode ser absorvida na condição inicial.

Passo 5

Aplicando a condição inicial V(0) = 10^9 litros:
10^9 = 10^6 cdot (-100) cdot e^0 - 10^7 cdot 0 + 10^9 + C
Simplificando:
10^9 = -10^8 + 10^9 + C C = 10^8
Portanto, a expressão para V(t) fica:
V(t) = -10^8 cdot e^-t / 100 - 10^7 cdot t + 10^9 + 10^8 V(t) = -10^8 cdot e^-t / 100 - 10^7 cdot t + 1,1 times 10^9

Passo 6

Agora, vamos calcular o volume depois de 60 dias substituindo t = 60:
V(60) = -10^8 cdot e^-60 / 100 - 10^7 cdot 60 + 1,1 times 10^9
Calculando cada termo:
  1. e^-60 / 100 = e^-0,6 approx 0,5488
  2. -10^8 cdot 0,5488 approx -5,488 times 10^7
  3. -10^7 cdot 60 = -6 times 10^8
  4. 1,1 times 10^9 = 1,1 times 10^9
Somando tudo:
V(60) = -5,488 times 10^7 - 6 times 10^8 + 1,1 times 10^9 V(60) = (-54,88 times 10^6) + (-600 times 10^6) + 1,1 times 10^9 V(60) = -654,88 times 10^6 + 1,1 times 10^9 V(60) approx 4,45 times 10^8 litros

Resposta

Sim, após 60 dias o volume do reservatório será aproximadamente 4,45 times 10^8 litros, confirmando a previsão dos técnicos do Departamento de Água.

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