O nível de água de um reservatório municipal é normalmente reduzido na época de estiagem. No primeiro dia desse período, os técnicos do Departamento de Água verificaram que o nível do reservatório indicava um volume de litros e previram que o abastecimento seria normal por mais 60 dias. O consumo de água dessa cidade é de litros/dia e foi previsto que a alimentação do reservatório seria somente de litros/dia (onde t é contado em dias, a partir do dia de estiagem). Está correta a previsão dos técnicos do Departamento de Água? (R: Sim, após 60 dias o volume será )

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem um reservatório com um volume inicial de litros no primeiro dia de estiagem. Os técnicos disseram que o abastecimento da cidade vai ser normal por mais 60 dias. O consumo diário é de litros, e a água que entra no reservatório todo dia é de litros, onde é o número de dias desde o início da estiagem. Vamos usar conceitos de cálculo para verificar se essa previsão está correta, ou seja, se após 60 dias o volume do reservatório será de litros.

Passo 2

Primeiro, vamos modelar como o volume de água no reservatório muda ao longo do tempo. A quantidade de água que sai do reservatório é o consumo diário da cidade, que é constante: litros/dia. A quantidade de água que entra no reservatório é variável e dada por litros/dia.
Então, a taxa de variação do volume de água no reservatório em relação ao tempo é:

Passo 3

Para encontrar o volume de água no reservatório após dias, precisamos integrar essa taxa de variação desde o início da estiagem até o dia . A equação diferencial fica:
Integrando ambos os lados em relação a :
Onde litros é o volume inicial.

Passo 4

Vamos resolver a integral:
A integral de é , e a integral de é . Então:
Como estamos calculando a integral definida desde até , a constante pode ser absorvida na condição inicial.

Passo 5

Aplicando a condição inicial litros:
Simplificando:
Portanto, a expressão para fica:

Passo 6

Agora, vamos calcular o volume depois de 60 dias substituindo :
Calculando cada termo:
Somando tudo:

Resposta

Sim, após 60 dias o volume do reservatório será aproximadamente litros, confirmando a previsão dos técnicos do Departamento de Água.

Exercícios relacionados

a) Para as condições anteriores e uma temperatura do ar de , qual é a taxa na qual o calor é retirado do ar, por unidade de comprimento dos tubos?
b) Se a unidade de descongelamento do refrigerador apresentar defeito, lentamente haverá acúmulo de gelo sobre a superfície externa do tubo. Avalie o efeito da formação de gelo na capacidade de refrigeração de um tubo em função da espessura da camada formada na faixa . A condutividade térmica de gelo pode ser considerada igual a .
c) O refrigerador é desligado após a unidade de descongelamento apresentar defeito, e a camada de gelo formada possui uma espessura de 2 mm. Se os tubos estiverem em um ar ambiente a e a convecção natural mantiver um coeficiente de transferência de calor de , quanto tempo irá levar para que todo o gelo derreta? O gelo pode ser considerado com uma densidade de e um calor latente de fusão de .
A presença de em solução é essencial para o crescimento de plantas aquáticas, com o sendo usado como um reagente na fotossíntese. Considere um corpo de água estagnado no qual a concentração de é nula em qualquer lugar. No tempo , a água é exposta a uma fonte de , que mantém a concentração na superfície em um valor fixo . Para , começa o acúmulo de na água, mas esse acúmulo é impedido pelo consumo de devido à fotossíntese. A taxa na qual esse consumo ocorre por unidade de volume é igual ao produto entre uma constante da taxa de reação e a concentração local do .
(a) Escreva (não deduza) uma equação diferencial que pode ser usada para determinar na água. O que cada parcela da equação representa fisicamente?
(b) Escreva condições de contorno apropriadas que possam ser usadas para obter uma solução particular, supondo um corpo de água
Uma força num componente do modelo em escala de 1:10 de uma bomba é medida como 50 N . Que força é esperada no componente do protótipo se a água for usada para o modelo e protótipo:
a) É usada a água à mesma temperatura tanto no modelo como no protótipo.
b) A temperatura da água no modelo é enquanto no protótipo .
Caldo para cultivo de células a e a é aquecido ao passar pelo interior de um tubo liso com de diâmetro interno e 15 m de comprimento. A temperatura do tubo é maior que a temperatura do caldo ao longo de todo comprimento do tubo. Qual a temperatura na saída do tubo? (considerar propriedades da água)