A pressão atmosférica nas proximidades do solo em uma certa região é dada por
onde e são constantes positivas. Descreva as isobáricas (curvas de nível ) para pressões maiores ou iguais a .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que a pressão atmosférica perto do solo é dada pela fórmula
onde , e são constantes positivas. Nosso objetivo aqui é descrever as isobáricas, que são as curvas onde a pressão é constante, para valores de pressão maiores ou iguais a . Para resolver isso, vamos precisar entender o que são curvas de nível (isobáricas) e como representá-las matematicamente.

Passo 2

Primeiro, vamos imaginar que queremos desenhar uma curva onde a pressão é constante, digamos . Isso significa que queremos encontrar todos os pontos que satisfazem a equação:
Substituindo a função de pressão dada, temos:

Passo 3

Agora, vamos isolar os termos com e para facilitar a análise:
Como o problema nos diz que , o lado direito da equação será sempre maior ou igual a zero. Isso é importante porque vamos precisar isso para identificar a forma da curva.

Passo 4

A equação que temos agora:
é a equação geral de uma elipse, desde que e sejam positivos, o que é o caso aqui. Uma elipse é uma curva fechada onde a soma das distâncias de qualquer ponto da curva aos dois focos é constante. No nosso caso, como não há termos de primeiro grau nem um termo misto , a elipse está centrada na origem .

Passo 5

Para entender melhor, podemos reescrever a equação da elipse dividindo ambos os lados por :
Aqui, e são os quadrados dos semi-eixos da elipse nas direções e , respectivamente. Isso nos mostra que a forma e o tamanho da isobárica dependem dos valores das constantes e .

Resposta

As isobáricas para pressões maiores ou iguais a são elipses centradas na origem, cujos semi-eixos são determinados pelas constantes e . Quanto maior a pressão , maior será o tamanho da elipse correspondente.

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Resolva a equação dada por para , ocorre em muitos problemas que envolvem o potencial elétrico. Resolva a equação sujeito às condições:
Determine se a equação diferencial dada é EXATA. Se for resolva-a, e aplique o problema de valor inicial dado.
Resolva os problemas de contorno apresentados, lembrando que a solução não pode ser a trivial, ou seja, , para isso, determine o valor da contante .


Descreva e esboce o domínio da função real de duas ou três variáveis: