A pressão atmosférica nas proximidades do solo em uma certa região é dada por
onde
e
são constantes positivas. Descreva as isobáricas (curvas de nível
) para pressões maiores ou iguais a
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que a pressão atmosférica perto do solo é dada pela fórmula
onde
,
e
são constantes positivas. Nosso objetivo aqui é descrever as isobáricas, que são as curvas onde a pressão
é constante, para valores de pressão maiores ou iguais a
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são curvas de nível (isobáricas) e como representá-las matematicamente.
Passo 2
Primeiro, vamos imaginar que queremos desenhar uma curva onde a pressão é constante, digamos
. Isso significa que queremos encontrar todos os pontos
que satisfazem a equação:
Substituindo a função de pressão dada, temos:
Passo 3
Agora, vamos isolar os termos com
e
para facilitar a análise:
Como o problema nos diz que
, o lado direito da equação
será sempre maior ou igual a zero. Isso é importante porque vamos precisar isso para identificar a forma da curva.
Passo 4
A equação que temos agora:
é a equação geral de uma elipse, desde que
e
sejam positivos, o que é o caso aqui. Uma elipse é uma curva fechada onde a soma das distâncias de qualquer ponto da curva aos dois focos é constante. No nosso caso, como não há termos de primeiro grau nem um termo misto
, a elipse está centrada na origem
.
Passo 5
Para entender melhor, podemos reescrever a equação da elipse dividindo ambos os lados por
:
Aqui,
e
são os quadrados dos semi-eixos da elipse nas direções
e
, respectivamente. Isso nos mostra que a forma e o tamanho da isobárica dependem dos valores das constantes
e
.
Resposta
As isobáricas para pressões maiores ou iguais a
são elipses centradas na origem, cujos semi-eixos são determinados pelas constantes
e
. Quanto maior a pressão
, maior será o tamanho da elipse correspondente.
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Resolva a equação dada por
para
, ocorre em muitos problemas que envolvem o potencial elétrico. Resolva a equação sujeito às condições:
Determine se a equação diferencial dada é EXATA. Se for resolva-a, e aplique o problema de valor inicial dado.
Resolva os problemas de contorno apresentados, lembrando que a solução não pode ser a trivial, ou seja,
, para isso, determine o valor da contante
.
Descreva e esboce o domínio da função real de duas ou três variáveis: