Se a pressão ao nível do mar for de 101,35 kPa, calcule a pressão padrão a uma altitude de 5 km , usando (a) a equação apropriada e (b) uma hipótese isotérmica para uma temperatura padrão de 15^circ C ao nível do mar. A aproximação isotérmica é adequada?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a pressão atmosférica padrão a uma altitude de 5 km, sabendo que ao nível do mar ela é de 101,35 kPa. Vamos fazer isso de duas maneiras: (a) usando a equação apropriada para a variação da pressão com a altitude, e (b) assumindo que a temperatura permanece constante (hipótese isotérmica) com uma temperatura padrão de 15^circ C ao nível do mar. Também vamos ver se essa hipótese isotérmica é uma boa aproximação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender qual equação usar para calcular a pressão a uma certa altitude. A equação que relaciona a pressão atmosférica com a altitude é conhecida como a fórmula barométrica. Ela descreve como a pressão diminui conforme a gente sobe na atmosfera.
Para a parte (a), vamos usar a fórmula geral que considera a variação da temperatura com a altitude. A fórmula é:
P = P0 cdot (1 - L cdot hT0)^g cdot MR cdot L
Onde:
  • P é a pressão na altitude h.
  • P0 é a pressão ao nível do mar ( 101,35 kPa).
  • L é o gradiente adiabático padrão ( 0,0065 K/m).
  • h é a altitude (5000 m no nosso caso).
  • T0 é a temperatura ao nível do mar ( 288,15 K, que é 15^circ C).
  • g é a aceleração da gravidade ( 9,80665 m/s^2).
  • M é a massa molar do ar ( 0,0289644 kg/mol).
  • R é a constante universal dos gases ( 8,3144598 J/(molcdot K)).

Passo 3

Vamos substituir os valores na fórmula para calcular a pressão a 5 km de altitude.
Primeiro, calculamos o termo dentro do parênteses:
1 - 0,0065 cdot 5000288,15 = 1 - 32,5288,15 approx 1 - 0,1126 = 0,8874
Agora, calculamos o expoente:
9,80665 cdot 0,02896448,3144598 cdot 0,0065 approx 0,28430,0540 approx 5,258
Então, a pressão será:
P = 101,35 cdot (0,8874)^5,258
Calculando:
(0,8874)^5,258 approx 0,533
Portanto:
P approx 101,35 cdot 0,533 approx 54,03 kPa

Passo 4

Agora, na parte (b), vamos assumir que a temperatura não muda com a altitude (hipótese isotérmica). Nesse caso, usamos uma fórmula simplificada da fórmula barométrica:
P = P0 cdot e^-M cdot g cdot hR cdot T0
Usando os mesmos valores:
0,0289644 cdot 9,80665 cdot 50008,3144598 cdot 288,15 approx 1418,072395,41 approx 0,592
Então:
P = 101,35 cdot e^-0,592 approx 101,35 cdot 0,553 approx 56,08 kPa

Passo 5

Por fim, vamos analisar se a hipótese isotérmica é adequada. No mundo real, a temperatura geralmente diminui com a altitude na troposfera, que é a camada onde ocorre a maior parte dos fenômenos meteorológicos. Como observamos na parte (a), considerando a variação da temperatura, a pressão calculada foi um pouco menor ( 54,03 kPa) do que na hipótese isotérmica ( 56,08 kPa). Isso sugere que a temperatura realmente diminui com a altitude, e a hipótese isotérmica simplifica demais a situação, não capturando essa variação. Portanto, a aproximação isotérmica não é completamente adequada para esse caso.

Resposta

A pressão padrão a 5 km de altitude é aproximadamente 54,03 kPa usando a equação apropriada e 56,08 kPa sob a hipótese isotérmica. A hipótese isotérmica não é totalmente adequada, pois a temperatura realmente diminui com a altitude, afetando a precisão do cálculo da pressão.

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