Presumindo que o fio do dipolo é de cobre, cuja condutividade é de 5,7 times 10^7 S / m, determine, na frequềncia f=1 GHz, a resistência de perda.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar a resistência de perda de um dipolo de cobre na frequência de 1 GHz. Esse problema está relacionado com a Física das ondas eletromagnéticas e a teoria de antenas. Para resolver, vamos precisar utilizar conceitos de condutividade elétrica, efeito da frequência nas perdas e a fórmula da resistência de perda em condutores.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que a resistência de perda em um dipolo é influenciada pela condutividade do material (no caso, cobre) e pela frequência da corrente que circula nele. Em altas frequências, como 1 GHz, o efeito de pele torna-se relevante, o que significa que a corrente tende a circular apenas na superfície do condutor.

Passo 3

Para calcular a resistência de perda ( Rp), utilizamos a seguinte fórmula:
Rp = rhode
onde:
  • rho é a resistividade do material ( rho = 1sigma),
  • de é a profundidade de penetração da corrente (profundidade de pele),
  • l é o comprimento do dipolo,
  • A é a área da seção transversal do condutor.

Passo 4

Primeiro, vamos calcular a resistividade ( rho) do cobre:
rho = 1sigma = 15,7 times 10^7 , S/m approx 1,754 times 10^-8 , Omega cdot m

Passo 5

Agora, calculamos a profundidade de pele ( de) usando a fórmula:
de
onde:
  • omega = 2pi f é a frequência angular,
  • mu é a permeabilidade magnética do material (para cobre, podemos usar mu0 = 4pi times 10^-7 , H/m).
Substituindo os valores:
omega = 2pi times 1 times 10^9 , Hz approx 6,283 times 10^9 , rad/s
de
Calculando o denominador:
6,283 times 10^9 times 4pi times 10^-7 times 5,7 times 10^7 approx 7,155 times 10^11
Então,
de

Passo 6

Agora, substituímos rho e de na fórmula da resistência de perda:
Rp = 1,754 times 10^-8 , Omega cdot m1,67 times 10^-6 , m cdot lA approx 1,05 times 10^-2 , Omega cdot lA

Passo 7

Para continuar, precisamos considerar o comprimento ( l) do dipolo e sua área de seção transversal ( A). Como esses valores não foram fornecidos no enunciado, assumiremos valores típicos para um dipolo de frequência de 1 GHz. O comprimento de um dipolo ressonante é aproximadamente lambda/2, onde lambda é o comprimento de onda.
Calculando o comprimento de onda:
lambda = cf = 3 times 10^8 , m/s1 times 10^9 , Hz = 0,3 , m
Então,
l = lambda2 = 0,15 , m
Assumindo uma área de seção transversal de A = pi a^2, onde a é o raio do fio. Se considerarmos um fio de cobre com diâmetro de 1 mm ( a = 0,0005 , m):
A = pi times (0,0005)^2 approx 7,85 times 10^-7 , m^2

Passo 8

Substituindo l e A na fórmula:
Rp approx 1,05 times 10^-2 , Omega cdot 0,157,85 times 10^-7 approx 1,05 times 10^-2 times 1,91 times 10^5 approx 2,00 times 10^3 , Omega

Resposta

A resistência de perda do dipolo de cobre na frequência de 1 GHz é aproximadamente 2,00 times 10^3 , Omega.

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