a)
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos dá a derivada primeira da função
, que é
, e a derivada segunda
. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a função
original. Para isso, vamos usar o conteúdo de cálculo, especificamente a integração, que é o processo inverso da derivação.
Passo 2
Primeiro, lembrando que para encontrar
a partir de
, precisamos integrar
. Ou seja, vamos calcular:
Passo 3
Para resolver a integral
, vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, nossa integral fica:
Passo 4
Agora, precisamos resolver cada uma dessas integrais separadamente. Vamos começar com
. Para integrar termos como
, usamos a integração por partes repetidamente. A fórmula da integração por partes é:
Escolhemos:
-
então -
então
Aplicando a fórmula:
Agora, resolvemos
usando novamente integração por partes:
-
então -
então
Aplicando:
Substituindo de volta:
Agora, fazemos a mesma coisa para
:
Escolhemos:
-
então -
então
Aplicando a fórmula:
Já sabemos que
, então:
Passo 5
Agora, juntando tudo:
Simplificando:
Resposta
A função
é dada por:
Onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
a)
.
Derive:
v)
v)
a)
Derive:
z)
z)