a) e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá a derivada primeira da função , que é , e a derivada segunda . Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a função original. Para isso, vamos usar o conteúdo de cálculo, especificamente a integração, que é o processo inverso da derivação.

Passo 2

Primeiro, lembrando que para encontrar a partir de , precisamos integrar . Ou seja, vamos calcular:

Passo 3

Para resolver a integral , vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, nossa integral fica:

Passo 4

Agora, precisamos resolver cada uma dessas integrais separadamente. Vamos começar com . Para integrar termos como , usamos a integração por partes repetidamente. A fórmula da integração por partes é:
Escolhemos:
  • então
  • então
Aplicando a fórmula:
Agora, resolvemos usando novamente integração por partes:
  • então
  • então
Aplicando:
Substituindo de volta:
Agora, fazemos a mesma coisa para :
Escolhemos:
  • então
  • então
Aplicando a fórmula:
Já sabemos que , então:

Passo 5

Agora, juntando tudo:
Simplificando:

Resposta

A função é dada por:
Onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

a) .
Derive:
v)
a)
Derive:
z)