a)
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que envolve a equação diferencial
. Aqui, o conteúdo que vamos usar é cálculo diferencial, especificamente resolução de equações diferenciais separáveis. Para resolver isso, vamos precisar manipular a equação para separar as variáveis
e
em lados diferentes da igualdade.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a separação das variáveis. Temos:
Isso significa que a derivada de
em relação a
é igual a
.
Passo 3
Agora, vamos separar as variáveis
e
. Para isso, multiplicamos ambos os lados por
e
:
Dessa forma, temos todas as termos com
de um lado e as com
do outro lado.
Passo 4
Pronto para integrar! Vamos integrar ambos os lados da equação:
Passo 5
Calculando as integrais:
-
Para o lado esquerdo:
-
Para o lado direito:
Passo 6
Igualando as duas integrais e combinando as constantes de integração (
):
Passo 7
Para simplificar, podemos multiplicar toda a equação por 3:
Podemos renomear
como apenas
, já que
é uma constante qualquer.
Passo 8
Finalmente, isolando
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Derive:
v)
v)
Derive:
q)
q)
a)
e
.
a)