a) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que envolve a equação diferencial . Aqui, o conteúdo que vamos usar é cálculo diferencial, especificamente resolução de equações diferenciais separáveis. Para resolver isso, vamos precisar manipular a equação para separar as variáveis e em lados diferentes da igualdade.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a separação das variáveis. Temos:
Isso significa que a derivada de em relação a é igual a .

Passo 3

Agora, vamos separar as variáveis e . Para isso, multiplicamos ambos os lados por e :
Dessa forma, temos todas as termos com de um lado e as com do outro lado.

Passo 4

Pronto para integrar! Vamos integrar ambos os lados da equação:

Passo 5

Calculando as integrais:
  • Para o lado esquerdo:
  • Para o lado direito:

Passo 6

Igualando as duas integrais e combinando as constantes de integração ( ):

Passo 7

Para simplificar, podemos multiplicar toda a equação por 3:
Podemos renomear como apenas , já que é uma constante qualquer.

Passo 8

Finalmente, isolando :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Derive:
v)
Derive:
q)
a) e .
a)