Derive.
y=sen(tg(2 x)).

Passo 1

Beleza! Vamos resolver o exercício que pede para derivar a função y=sen(tg(2 x)). Estamos trabalhando com cálculo diferencial, que é a parte da matemática que estuda as taxas de variação e as inclinações das funções. Para resolver esse problema, vamos precisar usar algumas regras de derivação, especialmente a regra da cadeia, já que temos funções compostas aqui.

Passo 2

Primeiro, identifiquemos as funções que temos. A função y é composta por duas funções:
  1. u = tg(2x), que será a nossa função interna.
  2. y = sen(u), que será a função externa.
Para derivar essa função composta, precisamos da regra da cadeia, que diz que a derivada de uma função composta y(u(x)) é dada por:
dydx = dydu cdot dudx
Então, precisamos primeiro calcular dydu e depois dudx.

Passo 3

Vamos calcular a derivada da função externa primeiro:
Como y = sen(u), temos que:
dydu = cos(u)
Agora precisamos calcular a derivada da função interna u = tg(2x). Para isso, usamos novamente a regra da cadeia, pois temos outra função composta. A derivada da tangente é:
ddu(tg(u)) = sec^2(u)
Então, vamos derivar u = tg(2x):
dudx = ddx(tg(2x)) = sec^2(2x) cdot ddx(2x)
A derivada de 2x é apenas 2, então:
dudx = 2 cdot sec^2(2x)

Passo 4

Agora estamos prontos para juntar tudo usando a regra da cadeia:
dydx = dydu cdot dudx = cos(u) cdot (2 cdot sec^2(2x))
Lembrando que u = tg(2x), então substituímos de volta:
dydx = cos(tg(2x)) cdot (2 cdot sec^2(2x))

Resposta

Portanto, a derivada de y=sen(tg(2x)) é dada por:
dydx = 2 cdot cos(tg(2x)) cdot sec^2(2x)

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