Derive.
.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver o exercício que pede para derivar a função
. Estamos trabalhando com cálculo diferencial, que é a parte da matemática que estuda as taxas de variação e as inclinações das funções. Para resolver esse problema, vamos precisar usar algumas regras de derivação, especialmente a regra da cadeia, já que temos funções compostas aqui.
Passo 2
Primeiro, identifiquemos as funções que temos. A função
é composta por duas funções:
-
, que será a nossa função interna. -
, que será a função externa.
Para derivar essa função composta, precisamos da regra da cadeia, que diz que a derivada de uma função composta
é dada por:
Então, precisamos primeiro calcular
e depois
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada da função externa primeiro:
Como , temos que:
Como
Agora precisamos calcular a derivada da função interna
. Para isso, usamos novamente a regra da cadeia, pois temos outra função composta. A derivada da tangente é:
Então, vamos derivar
:
A derivada de
Passo 4
Agora estamos prontos para juntar tudo usando a regra da cadeia:
Lembrando que
, então substituímos de volta:
Resposta
Portanto, a derivada de
é dada por: