Uma das primeiras relações que um aluno de Economia aprende na graduação é a relação renda-consumo, que em sua forma mais simples pode ser descrita por
em que e representam respectivamente o nível de consumo e o nivel de renda, expressos em alguma unidade monetária conveniente (por exemplo em ). Essa é essencialmente uma relação linear, onde é o intercepto (denominado consumo autônomo, pois não depende do nível de renda) e é a inclinação (denominada propensão marginal a consumir, pois é a fração da renda consumida pelo indivíduo).
Suponha então que por alguma razão você esteja interessado em inferir sobre a relação entre renda e consumo de cerveja dos funcionários do ICEx. Você formula esse problema como um problema de regressão, onde representa o consumo de cerveja (em R ) e representa a renda (em R ) do -ésimo funcionário. Você faz algumas perguntas indiscretas e obtém uma amostra de consumos e rendas , ambos expressos em R .
a. Considere que parte da sua amostra (com elementos), em unidades padronizadas, seja
| | | |
| :—: | :—: | :—: |
| 1 | | 1 |
| 2 | | -1 |
| 3 | | 1 |
| 4 | -1 | -2 |
| 5 | 0 | 0 |
| 6 | | 1 |
Calcule o coeficiente de correlação entre e com base nos dados acima.
b. Com base no resultado do item a., escreva a reta de regressão renda-consumo em unidades padronizadas.
c. Se a renda de um funcionário do ICEx é igual a 2 em unidades padronizadas, i.e. , qual é o seu consumo de cerveja predito pela regressão em unidades padronizadas, ? Como interpretamos esse valor?
d. Voltando ao nosso problema original, suponha agora que , e . Com base no resultado do item a., escreva a reta de regressão (geral) para .
e. Com base na reta de regressão geral do item d., identifique as estimativas para o consumo autônomo e para a propensão marginal a consumir feitas para essa amostra. Interprete esses valores em termos do problema original.
f. Se a renda de um funcionário do ICEx é de , qual é o seu consumo de cerveja predito pela regressão, ?
g. Com base na sua resposta ao item item f., quanto seria o consumo de cerveja predito pela regressão como uma proporção da renda total ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tá olhando para a relação entre renda e consumo de cerveja dos funcionários do ICEx, usando uma amostra de dados padronizados. A matéria aqui envolve estatística, especificamente correlação e regressão linear. Vamos precisar calcular o coeficiente de correlação, escrever a reta de regressão e fazer algumas previsões com base nisso.

Passo 2

a. Calculando o coeficiente de correlação

Primeiro, vamos calcular o coeficiente de correlação entre (consumo de cerveja) e (renda). Como os dados estão padronizados, a média de cada variável é 0 e o desvio padrão é 1, o que simplifica nossa vida porque a correlação é igual ao produto das variáveis.
Aqui estão os dados:
1 1
2 -1
3 1
4 -1 -2
5 0 0
6 1
Como os dados estão padronizados, o coeficiente de correlação é simplesmente a média dos produtos .
Vamos calcular:
Substituindo os valores:

Resposta

O coeficiente de correlação entre o consumo de cerveja e a renda dos funcionários é 0,75.

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1 4 1
2 2 4
3 2 2
4 4 1
a. Calcule a média de e e .
b. Calcule a variância de e e .
c. Calcule o desvio padrão de e e .
e. Com base nos resultados dos itens b. e d., obtenha a versão padronizada de e e .
f. Com base nos resultados do item e., calcule o coeficiente de correlação entre e .
g. Com base nos resultados do item f., o que você pode inferir sobre a relação entre o número de horas gastas no Instagram por dia e a pontuação na escala de autoestima?
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| | | |
| :—: | :—: | :—: |
| 1 | 500 | 3 |
| 2 | 1.400 | 9 |
| 3 | 800 | 6 |
| 4 | 700 | 6 |
a. Calcule a média de e e .
b. Calcule a variância de e e .
c. Calcule o desvio padrão de e e .
e. Com base nos resultados dos itens b. e d., obtenha a versão padronizada de e e .
f. Com base nos resultados do item e., calcule o coeficiente de correlação entre e .
g. Com base nos resultados do item f., o que você pode inferir sobre a relação entre o custo em e a quantidade de de porcelanato?