Nos primeiros instantes da decolagem de um avião, sua a trajetória pode ser modelada pela função
, com
dado em metros, Se o avião está subindo com velocidade vertical constante de
, determine as magnitudes da velocidade e da aceleração quando ele estiver a uma altura
do solo.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem a trajetória de um avião modelada pela função $ y = 0,001x^{2} $, onde $ y $ é a altura em metros. Sabemos que a velocidade vertical ($ \frac{dy}{dt} $) é constante e igual a 10 m/s. Precisamos descobrir a velocidade total e a aceleração do avião quando ele estiver a 100 metros de altura.
Matéria envolvida: Cinemática, derivadas para velocidade e aceleração.
O que vamos precisar: Derivar a função da trajetória para encontrar as velocidades e acelerações, e usar a relação entre $ x $ e $ y $ para substituir os valores.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o valor de $ x $ quando $ y = 100 $ metros. A função da trajetória é:
Substituindo $ y = 100 $:
Então, quando o avião está a 100 metros de altura, a posição horizontal $ x $ é aproximadamente 316,23 metros.
Passo 3
Agora, vamos relacionar as velocidades horizontal e vertical. Sabemos que a velocidade vertical é constante:
Vamos derivar a função $ y $ em relação ao tempo para encontrar $ \frac{dx}{dt} $. Derivando $ y = 0,001x^{2} $ em relação ao tempo:
Substituindo $ x \approx 316,23 $ metros:
Então, a velocidade horizontal é aproximadamente 15,81 m/s.
Passo 4
Agora, vamos calcular a magnitude da velocidade total do avião. A velocidade total $ v $ é dada pela combinação da velocidade horizontal ($ \frac{dx}{dt}
\frac{dy}{dt} $):
Portanto, a velocidade total é aproximadamente 18,71 m/s.
Passo 5
Agora, vamos calcular a aceleração do avião. Como a velocidade vertical é constante ($ \frac{dy}{dt} = 10 , m/s
\frac{d{2}y}{dt{2}} $) é zero.
Para a aceleração horizontal ($ \frac{d{2}x}{dt{2}} $), derivamos $ \frac{dx}{dt} = \frac{5000}{x} $ em relação ao tempo:
A aceleração total $ a $ é apenas a aceleração horizontal, já que a vertical é zero:
Resposta
Quando o avião estiver a 100 metros de altura, a velocidade total é aproximadamente 18,71 m/s e a aceleração é aproximadamente 0,79 m/s².