Um objeto é abandonado de uma altura y=h e cai em queda livre, atingindo o chão depois de um tempo tq. Orientando a trajetória para cima e a origem no solo, encontre:
b) a altura em que o objeto se encontra quando ele estiver na metade do tempo de queda. Escreva seu resultado na forma y=f(h).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um objeto que é largado de uma certa altura $ y = h $ e cai livremente até bater no chão após um tempo $ t_{\mathrm{q}} $. Nosso objetivo aqui é descobrir a que altura o objeto está quando ele estiver na metade do tempo de queda, ou seja, quando o tempo for $ \frac{t_{\mathrm{q}}}{2} $. Vamos usar conceitos de cinemática, especificamente as equações do movimento uniformemente variado (MUV), e a aceleração da gravidade $ g $.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o movimento do objeto. Como ele está em queda livre, a única força atuando sobre ele é a gravidade. A equação que descreve a posição $ y(t) $ do objeto em função do tempo $ t $ é:
y(t)
Aqui, $ h $ é a altura inicial, $ g $ é a aceleração da gravidade (aproximadamente $ 9,8 , m/s^2 $), e $ t $ é o tempo de queda.

Passo 3

Sabemos que o objeto atinge o chão quando $ y(t_{\mathrm{q}}) = 0 $. Vamos usar isso para encontrar o tempo total de queda $ t_{\mathrm{q}} $:
y(tq) = 0
Resolvendo para $ t_{\mathrm{q}} $:
tq

Passo 4

Agora, queremos saber a altura $ y $ quando o objeto está na metade do tempo de queda, ou seja, quando $ t = \frac{t_{\mathrm{q}}}{2} $. Vamos substituir esse valor na equação da posição:
y
Simplificando a expressão:
t = tq2

Passo 5

Lembrando que já encontramos $ t_{\mathrm{q}}^2 = \frac{2h}{g} $, vamos substituir esse valor na equação:
tq^2 = 2hg
Simplificando ainda mais:
y(tq2) = h - g cdot 2hg8 = h - 2h8 = h - h4

Resposta

A altura em que o objeto se encontra na metade do tempo de queda é $ y = \frac{3}{4} , h $.

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