Um objeto é abandonado de uma altura y=h e cai em queda livre, atingindo o chão depois de um tempo tq. Orientando a trajetória para cima e a origem no solo, encontre:
a) o tempo que ele gasta para atingir a metade da altura h, em termos de tq. Escreva seu resultado na forma t=f(tq).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre queda livre, que faz parte da área de cinemática da física. A gente vai precisar saber como calcular o tempo de queda de um objeto sob a ação da gravidade. O problema diz que um objeto é deixado cair de uma altura $ h $ e leva um tempo $ t_{\mathrm{q}} $ para atingir o chão. A gente precisa descobrir quanto tempo ele leva para chegar na metade dessa altura, ou seja, $ \frac{h}{2} $. Vamos expressar esse tempo em função de $ t_{\mathrm{q}} $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula que descreve a posição de um objeto em queda livre ao longo do tempo. A posição $ y(t) $ em função do tempo $ t $ é dada por:
y(t)
Aqui, $ g $ é a aceleração da gravidade, que vale aproximadamente $ 9,8 , m/s^2 $.

Passo 3

Sabemos que o objeto leva um tempo $ t_{\mathrm{q}} $ para atingir o chão, ou seja, quando $ y(t_{\mathrm{q}}) = 0 $. Vamos usar isso para encontrar uma relação entre $ h $ e $ t_{\mathrm{q}} $:
tq
Resolvendo para $ h $:
y(tq) = 0

Passo 4

Agora, queremos encontrar o tempo $ t $ quando o objeto está na metade da altura, $ y(t) = \frac{h}{2} $. Vamos substituir na equação da posição:
t
Subtraindo $ h $ de ambos os lados:
y(t) = h2
Multiplicando ambos os lados por $ -1 $:
h2 = h - 12 g t^2

Passo 5

Observamos que $ h = \frac{1}{2} g t_{\mathrm{q}}^2 $. Vamos substituir esse valor na equação acima:
h = 12 g tq^2
Simplificando:
12 g tq^22 = 12 g t^2
Os $ g $ se cancelam:
g tq^24 = 12 g t^2

Passo 6

Agora, vamos resolver para $ t $:
t
Multiplicando ambos os lados por 2:
t^22 = tq^24
Tirando a raiz quadrada de ambos os lados:
t^2 = tq^22

Resposta

O tempo para o objeto atingir a metade da altura é:
t = tqraiz2

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