Um objeto é abandonado de uma altura
e cai em queda livre, atingindo o chão depois de um tempo
. Orientando a trajetória para cima e a origem no solo, encontre:
a) o tempo que ele gasta para atingir a metade da altura
, em termos de
. Escreva seu resultado na forma
.
a) o tempo que ele gasta para atingir a metade da altura
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre queda livre, que faz parte da área de cinemática da física. A gente vai precisar saber como calcular o tempo de queda de um objeto sob a ação da gravidade. O problema diz que um objeto é deixado cair de uma altura $ h $ e leva um tempo $ t_{\mathrm{q}} $ para atingir o chão. A gente precisa descobrir quanto tempo ele leva para chegar na metade dessa altura, ou seja, $ \frac{h}{2} $. Vamos expressar esse tempo em função de $ t_{\mathrm{q}} $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da fórmula que descreve a posição de um objeto em queda livre ao longo do tempo. A posição $ y(t) $ em função do tempo $ t $ é dada por:
Aqui, $ g $ é a aceleração da gravidade, que vale aproximadamente $ 9,8 , m/s^2 $.
Passo 3
Sabemos que o objeto leva um tempo $ t_{\mathrm{q}} $ para atingir o chão, ou seja, quando $ y(t_{\mathrm{q}}) = 0 $. Vamos usar isso para encontrar uma relação entre $ h $ e $ t_{\mathrm{q}} $:
Resolvendo para $ h $:
Passo 4
Agora, queremos encontrar o tempo $ t $ quando o objeto está na metade da altura, $ y(t) = \frac{h}{2} $. Vamos substituir na equação da posição:
Subtraindo $ h $ de ambos os lados:
Multiplicando ambos os lados por $ -1 $:
Passo 5
Observamos que $ h = \frac{1}{2} g t_{\mathrm{q}}^2 $. Vamos substituir esse valor na equação acima:
Simplificando:
Os $ g $ se cancelam:
Passo 6
Agora, vamos resolver para $ t $:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Tirando a raiz quadrada de ambos os lados:
Resposta
O tempo para o objeto atingir a metade da altura é: