Suponha uma esfera condutora (raio a=1 m ) localizada no vácuo (permissividade varepsilon0 ) uniformemente carregada (carga total Q ). Considere que, nessas condições, o potencial escalar elétrico da esfera com relação ao infinito é 1000 V. Sejam os itens a seguir.
Suponha que a esfera seja coberta com uma camada isolante de permissividade relativa varepsilonr=10 e espessura b=0,5 m, isto é, a camada isolante está localizada entre a. Calcule o potencial da esfera com relação ao infinito nessa nova condição.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma esfera condutora de raio $ a = 1 , m $ no vácuo, com carga total $ Q $ e potencial $ V_0 = 1000 , V $ em relação ao infinito. Agora, vamos adicionar uma camada isolante ao redor dessa esfera, com permissividade relativa $ \varepsilon_r = 10 $ e espessura $ b = 0,5 , m $. Precisamos calcular o novo potencial da esfera em relação ao infinito nessa nova configuração. Para isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente sobre potencial elétrico e permissividade de materiais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o potencial de uma esfera carregada no vácuo. O potencial $ V $ de uma esfera condutora carregada é dado por:
V
Aqui, $ \varepsilon_0 $ é a permissividade do vácuo, $ Q $ é a carga total e $ a $ é o raio da esfera.

Passo 3

Na situação inicial, sabemos que $ V_0 = 1000 , V $. Podemos usar essa informação para relacionar a carga $ Q $ com o potencial:
V0 = 1000 , V
Isso nos dá:
Q

Passo 4

Agora, vamos considerar a nova configuração com a camada isolante. A permissividade do material isolante é $ \varepsilon_r = 10 $, e a espessura é $ b = 0,5 , m $. Isso significa que a permissividade total na região do isolante é:
varepsilonr = 10

Passo 5

O potencial elétrico em presença de um material dielétrico muda. A nova expressão para o potencial $ V $ considerando a camada isolante fica:
V
Isso ocorre porque a presença do dielétrico efetivamente “diminui” o potencial pela razão da permissividade.

Passo 6

Substituindo os valores conhecidos:
V = 100010 = 100 , V
Portanto, o novo potencial da esfera em relação ao infinito, com a camada isolante, é de 100 Volts.

Resposta

O potencial da esfera com a camada isolante é de 100 V.

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