A probabilidade de se encontrar aberto o sinal de trânsito numa esquina é 0,30 . Qual é a esperança de encontrar o sinal verde ao passar por este local cinco vezes? E qual a variância associada.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que a probabilidade de encontrar o sinal de trânsito verde em uma esquina é de 0,30 (ou 30%). Queremos descobrir qual é a esperança (ou valor esperado) de encontrar o sinal verde ao passar por essa esquina cinco vezes, além da variância associada a essa situação. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Distribuição Binomial, que é perfeita para situações com um número fixo de tentativas, cada uma com duas possibilidades de resultado (sucesso ou insucesso).

Passo 2

A esperança (ou valor esperado) em uma Distribuição Binomial é calculada multiplicando o número de tentativas pela probabilidade de sucesso em cada tentativa. A fórmula é:
Onde:
  • é a esperança,
  • é o número de tentativas,
  • é a probabilidade de sucesso em cada tentativa.

Passo 3

Substituindo os valores fornecidos na fórmula:
Isso significa que, em média, você espera encontrar o sinal verde 1,5 vezes em cinco passagens pela esquina.

Passo 4

Agora, vamos calcular a variância, que nos dá uma ideia de quão dispersos estão os resultados em relação à esperança. A fórmula da variância para uma Distribuição Binomial é:
Onde:
  • é a variância,
  • é o número de tentativas,
  • é a probabilidade de sucesso,
  • é a probabilidade de insucesso.

Passo 5

Substituindo os valores na fórmula da variância:
Então, a variância é 1,05, o que indica a dispersão dos resultados em torno da esperança.

Resposta

A esperança de encontrar o sinal verde cinco vezes é 1,5, e a variância associada é 1,05.

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