Uma urna tem 30 bolas brancas e 20 verdes. Retira-se uma bola dessa urna. Seja : número de bolas verdes, calcular e e determinar . Dica: utilizar distribuição de Bernoulli.

Passo 1

Então, a gente tem uma urna com 30 bolas brancas e 20 bolas verdes, totalizando 50 bolas. A gente vai tirar uma bola dessa urna e quer analisar três coisas sobre o número de bolas verdes que podemos retirar: a esperança matemática , a variância e a probabilidade . Para resolver isso, vamos usar a distribuição de Bernoulli, que é bem útil para experimentos que têm dois possíveis resultados, como neste caso: tirar uma bola verde ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma distribuição de Bernoulli. É uma distribuição de probabilidade para uma variável aleatória que assume o valor 1 com probabilidade e o valor 0 com probabilidade . No nosso caso, vamos definir a variável aleatória como o número de bolas verdes retiradas. Então, pode ser 1 se retirarmos uma bola verde, ou 0 se retirarmos uma bola branca.

Passo 3

Agora, vamos calcular a probabilidade de tirar uma bola verde, que é nossa . Como temos 20 bolas verdes em um total de 50 bolas, a probabilidade de tirar uma bola verde é:

Passo 4

Com a probabilidade em mãos, podemos calcular a esperança matemática da distribuição de Bernoulli. A fórmula para a esperança é:
Então,

Passo 5

Em seguida, vamos calcular a variância da distribuição de Bernoulli. A fórmula para a variância é:
Substituindo os valores:

Passo 6

Por fim, vamos determinar a probabilidade para os possíveis valores de . Como pode ser 0 ou 1:
  • Probabilidade de (tirar uma bola verde):
  • Probabilidade de (tirar uma bola branca):

Resposta

  • Esperança matemática:
  • Variância:
  • Probabilidades:

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