Uma urna tem 30 bolas brancas e 20 verdes. Retira-se uma bola dessa urna. Seja X: número de bolas verdes, calcular E(X) e VAR(X) e determinar P(X). Dica: utilizar distribuição de Bernoulli.

Passo 1

Então, a gente tem uma urna com 30 bolas brancas e 20 bolas verdes, totalizando 50 bolas. A gente vai tirar uma bola dessa urna e quer analisar três coisas sobre o número de bolas verdes que podemos retirar: a esperança matemática E(X), a variância VAR(X) e a probabilidade P(X). Para resolver isso, vamos usar a distribuição de Bernoulli, que é bem útil para experimentos que têm dois possíveis resultados, como neste caso: tirar uma bola verde ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma distribuição de Bernoulli. É uma distribuição de probabilidade para uma variável aleatória que assume o valor 1 com probabilidade p e o valor 0 com probabilidade 1 - p. No nosso caso, vamos definir a variável aleatória X como o número de bolas verdes retiradas. Então, X pode ser 1 se retirarmos uma bola verde, ou 0 se retirarmos uma bola branca.

Passo 3

Agora, vamos calcular a probabilidade de tirar uma bola verde, que é nossa p. Como temos 20 bolas verdes em um total de 50 bolas, a probabilidade de tirar uma bola verde é:
p = 2050 = 25 = 0,4

Passo 4

Com a probabilidade p em mãos, podemos calcular a esperança matemática E(X) da distribuição de Bernoulli. A fórmula para a esperança é:
E(X) = p
Então,
E(X) = 0,4

Passo 5

Em seguida, vamos calcular a variância VAR(X) da distribuição de Bernoulli. A fórmula para a variância é:
VAR(X) = p(1 - p)
Substituindo os valores:
VAR(X) = 0,4 times (1 - 0,4) = 0,4 times 0,6 = 0,24

Passo 6

Por fim, vamos determinar a probabilidade P(X) para os possíveis valores de X. Como X pode ser 0 ou 1:
  • Probabilidade de X = 1 (tirar uma bola verde):
P(X = 1) = p = 0,4
  • Probabilidade de X = 0 (tirar uma bola branca):
P(X = 0) = 1 - p = 0,6

Resposta

  • Esperança matemática: E(X) = 0,4
  • Variância: VAR(X) = 0,24
  • Probabilidades:
    • P(X = 1) = 0,4
    • P(X = 0) = 0,6

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