Uma urna tem 30 bolas brancas e 20 verdes. Retira-se uma bola dessa urna. Seja
: número de bolas verdes, calcular
e
e determinar
. Dica: utilizar distribuição de Bernoulli.
Passo 1
Então, a gente tem uma urna com 30 bolas brancas e 20 bolas verdes, totalizando 50 bolas. A gente vai tirar uma bola dessa urna e quer analisar três coisas sobre o número de bolas verdes que podemos retirar: a esperança matemática
, a variância
e a probabilidade
. Para resolver isso, vamos usar a distribuição de Bernoulli, que é bem útil para experimentos que têm dois possíveis resultados, como neste caso: tirar uma bola verde ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma distribuição de Bernoulli. É uma distribuição de probabilidade para uma variável aleatória que assume o valor 1 com probabilidade
e o valor 0 com probabilidade
. No nosso caso, vamos definir a variável aleatória
como o número de bolas verdes retiradas. Então,
pode ser 1 se retirarmos uma bola verde, ou 0 se retirarmos uma bola branca.
Passo 3
Agora, vamos calcular a probabilidade de tirar uma bola verde, que é nossa
. Como temos 20 bolas verdes em um total de 50 bolas, a probabilidade de tirar uma bola verde é:
Passo 4
Com a probabilidade
em mãos, podemos calcular a esperança matemática
da distribuição de Bernoulli. A fórmula para a esperança é:
Então,
Passo 5
Em seguida, vamos calcular a variância
da distribuição de Bernoulli. A fórmula para a variância é:
Substituindo os valores:
Passo 6
Por fim, vamos determinar a probabilidade
para os possíveis valores de
. Como
pode ser 0 ou 1:
- Probabilidade de
(tirar uma bola verde):
- Probabilidade de
(tirar uma bola branca):
Resposta
- Esperança matemática:
- Variância:
- Probabilidades:
-