Se a probabilidade de um indivíduo sofrer uma reação nociva, resultante da injeção de um determinado soro, é 0,001, determinar a probabilidade de, entre 2.000 indivíduos: mais do que 2 sofrerem aquela reação.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala que a probabilidade de uma pessoa ter uma reação ruim após uma injeção de um certo soro é de 0,001. Queremos descobrir qual é a chance de, em um grupo de 2.000 pessoas, mais de 2 delas sofrerem essa reação. Vamos usar a teoria da probabilidade, mais especificamente a distribuição binomial, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma distribuição binomial. Ela é usada quando temos um número fixo de tentativas independentes, cada uma com duas possíveis resultados: sucesso ou fracasso. Neste caso, cada pessoa é uma “tentativa”, e a “sucesso” seria sofrer a reação nociva.

Passo 3

A distribuição binomial é definida por dois parâmetros: o número de tentativas e a probabilidade de sucesso em cada tentativa . Aqui, e .

Passo 4

A fórmula da probabilidade binomial é:
P(X = k) = binomnk p^k (1-p)^n-k
onde é o coeficiente binomial, que calcula as combinações possíveis.

Passo 5

Entretanto, calcular diretamente seria trabalhoso, já que precisaríamos somar as probabilidades de . Então, usamos a aproximação da distribuição de Poisson, que é válida para grandes e pequenos .

Passo 6

A média da distribuição de Poisson é . Então, .

Passo 7

A fórmula da distribuição de Poisson é:
P(X = k) = lambda^k e^-lambdak!
Queremos encontrar , que é igual a .

Passo 8

Calculamos P(X <= 2) = 2^0 e^-20! + 2^1 e^-21! + 2^2 e^-22! somando P(X <= 2) = e^-2 + 2 e^-2 + 2 e^-2 = 5 e^-2 , e :

Passo 9

Então,
P(X > 2) = 1 - 5 e^-2
Calculando P(X > 2) approx 1 - 5 times 0,1353 = 1 - 0,6767 = 0,3233 :

Resposta

A probabilidade de, entre 2.000 indivíduos, mais de 2 sofrerem uma reação nociva é aproximadamente 32,33%.

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