a probabilidade de uma inseminação artificial em ruminantes ser bem sucedida é de . A fazenda F1 tentará inseminar artificialmente um rebanho envolvendo 15 animais já a F2 tentará inseminar até que ocorra o primeiro sucesso. Por fim, a fazenda F3 espera inseminar (com sucesso) em média 10 animais. Diante dessas informações: c) quantos animais F3 submeterá a inseminação?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente sabe que a probabilidade de uma inseminação artificial em ruminantes dar certo é de 85%. Existem três fazendas com estratégias diferentes:
  • F1: Vai tentar inseminar 15 animais.
  • F2: Vai continuar tentando até conseguir o primeiro sucesso.
  • F3: Espera, em média, ter sucesso após inseminar 10 animais.
A pergunta é: Quantos animais a fazenda F3 vai submeter à inseminação?
Pra resolver isso, vamos precisar entender conceitos de probabilidade, principalmente o que é valor esperado na distribuição geométrica e binomial.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na fazenda F3. Ela espera, em média, conseguir um sucesso após inseminar 10 animais. Isso significa que o número esperado de tentativas para obter um sucesso é 10.
A fórmula do valor esperado para uma distribuição geométrica, que modela o número de tentativas até o primeiro sucesso, é:
Onde é a probabilidade de sucesso em cada tentativa.

Passo 3

Sabemos que a probabilidade de sucesso é 85%, ou seja, .
Vamos substituir na fórmula do valor esperado:
Mas percebemos que isso não bate, já que . Isso indica que houve uma interpretação errada.
Na verdade, se a fazenda F3 espera, em média, ter sucesso após inseminar 10 animais, isso sugere que o valor esperado de sucessos é 10, não o número de tentativas para um sucesso.

Passo 4

Vamos corrigir a interpretação. Se F3 espera ter 10 sucessos, e a probabilidade de sucesso é 85%, queremos encontrar o número de tentativas necessárias para que o número esperado de sucessos seja 10.
A fórmula do valor esperado para a distribuição binomial é:
Onde:
  • é o número esperado de sucessos (10),
  • é o número de tentativas,
  • é a probabilidade de sucesso (0,85).

Passo 5

Agora, vamos substituir os valores na fórmula e resolver para :
Para encontrar , dividimos ambos os lados por 0,85:
Como não dá para inseminar uma fração de animal, arredondamos para cima.

Passo 6

Portanto, a fazenda F3 vai precisar inseminar aproximadamente 12 animais para esperar, em média, 10 sucessos.

Resposta

A fazenda F3 vai submeter cerca de 12 animais à inseminação.

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