a probabilidade de uma inseminação artificial em ruminantes ser bem sucedida é de
. A fazenda F1 tentará inseminar artificialmente um rebanho envolvendo 15 animais já a F2 tentará inseminar até que ocorra o primeiro sucesso. Por fim, a fazenda F3 espera inseminar (com sucesso) em média 10 animais. Diante dessas informações: c) quantos animais F3 submeterá a inseminação?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente sabe que a probabilidade de uma inseminação artificial em ruminantes dar certo é de 85%. Existem três fazendas com estratégias diferentes:
- F1: Vai tentar inseminar 15 animais.
- F2: Vai continuar tentando até conseguir o primeiro sucesso.
- F3: Espera, em média, ter sucesso após inseminar 10 animais.
A pergunta é: Quantos animais a fazenda F3 vai submeter à inseminação?
Pra resolver isso, vamos precisar entender conceitos de probabilidade, principalmente o que é valor esperado na distribuição geométrica e binomial.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na fazenda F3. Ela espera, em média, conseguir um sucesso após inseminar 10 animais. Isso significa que o número esperado de tentativas para obter um sucesso é 10.
A fórmula do valor esperado
para uma distribuição geométrica, que modela o número de tentativas até o primeiro sucesso, é:
Onde
é a probabilidade de sucesso em cada tentativa.
Passo 3
Sabemos que a probabilidade de sucesso
é 85%, ou seja,
.
Vamos substituir na fórmula do valor esperado:
Mas percebemos que isso não bate, já que
. Isso indica que houve uma interpretação errada.
Na verdade, se a fazenda F3 espera, em média, ter sucesso após inseminar 10 animais, isso sugere que o valor esperado de sucessos é 10, não o número de tentativas para um sucesso.
Passo 4
Vamos corrigir a interpretação. Se F3 espera ter 10 sucessos, e a probabilidade de sucesso é 85%, queremos encontrar o número de tentativas
necessárias para que o número esperado de sucessos seja 10.
A fórmula do valor esperado para a distribuição binomial é:
Onde:
-
é o número esperado de sucessos (10), -
é o número de tentativas, -
é a probabilidade de sucesso (0,85).
Passo 5
Agora, vamos substituir os valores na fórmula e resolver para
:
Para encontrar
, dividimos ambos os lados por 0,85:
Como não dá para inseminar uma fração de animal, arredondamos para cima.
Passo 6
Portanto, a fazenda F3 vai precisar inseminar aproximadamente 12 animais para esperar, em média, 10 sucessos.
Resposta
A fazenda F3 vai submeter cerca de 12 animais à inseminação.