A probabilidade de que uma máquina produza uma peça defeituosa é de 5 %. Se 20 peças forem produzidas, qual é a probabilidade de que nenhuma seja defeituosa?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que a probabilidade de uma máquina produzir uma peça defeituosa é de 5%. A gente precisa descobrir qual é a chance de, em 20 peças produzidas, nenhuma ser defeituosa. Vamos usar conceitos de probabilidade binomial para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é a probabilidade binomial. Ela é usada quando temos um número fixo de tentativas independentes, cada uma com dois possíveis resultados: sucesso ou fracasso. No nosso caso, cada peça ser defeituosa ou não é uma tentativa, com sucesso sendo “defeituosa” e fracasso sendo “não defeituosa”.

Passo 3

A fórmula da probabilidade binomial é:
P(X = k) = binomnk cdot p^k cdot (1 - p)^n - k
Onde:
  • n é o número total de tentativas (no caso, 20 peças).
  • k é o número de sucessos desejados (queremos 0 peças defeituosas).
  • p é a probabilidade de sucesso em uma única tentativa (5%, ou 0,05).

Passo 4

Vamos substituir os valores na fórmula:
P(X = 0) = binom200 cdot (0,05)^0 cdot (1 - 0,05)^20 - 0
Sabemos que binom200 = 1 e (0,05)^0 = 1, então simplificando:
P(X = 0) = 1 cdot 1 cdot (0,95)^20

Passo 5

Agora, vamos calcular (0,95)^20:
(0,95)^20 approx 0,3585

Resposta

A probabilidade de que nenhuma das 20 peças produzidas seja defeituosa é aproximadamente 35,85%.

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