Em um teste de resistência de ligas metálicas, cada liga tem 80 % de chance de passar no teste. Se 10 ligas são testadas, qual é a probabilidade de que exatamente 8 passem no teste?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um teste de resistência de ligas metálicas, onde cada liga tem 80% de chance de passar. No total, são testadas 10 ligas. Queremos saber qual a probabilidade de exatamente 8 ligas passarem. Vamos usar a probabilidade binomial pra resolver isso, que é perfeita quando a gente tem um número fixo de tentativas independentes, cada uma com duas possíveis saídas (passar ou não passar).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da probabilidade binomial. Ela serve pra calcular a chance de obtermos exatamente P(k) = binomnk times p^k times (1-p)^n-k sucessos em tentativas, com uma probabilidade de sucesso em cada tentativa. A fórmula é:

Passo 3

No nosso caso, (total de ligas testadas), (ligas que queremos que passem) e (80% de chance de passar). Vamos substituir esses valores na fórmula.

Passo 4

Primeiro, vamos calcular o coeficiente binomial binom108 = 10!8! times (10-8)! = 45 , que representa o número de maneiras diferentes de escolher 8 ligas que passam entre as 10 testadas. Isso é igual a:

Passo 5

Agora, vamos calcular as potências de p^k = 0.8^8 approx 0.16777216 e (1-p)^n-k = 0.2^2 = 0.04 :

Passo 6

Finalmente, vamos multiplicar tudo junto:
P(8) = 45 times 0.16777216 times 0.04 approx 0.301990

Resposta

A probabilidade de exatamente 8 ligas passarem no teste é de aproximadamente 30,2%.

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