Suponha que, para se ganhar um jogo de dados seja necessário obter 3 vezes a face voltada para cima do dado com o número 1 . Sendo que o número de lançamentos deve ser 6 e devemos obter a face 1 voltada para cima pela terceira vez no sexto lançamento. Supondo que o dado seja honesto, qual será a probabilidade de vencermos o jogo?

Passo 1

Beleza, a gente tem que resolver um problema de probabilidade com dados. O enunciado diz que pra ganhar o jogo, precisamos tirar a face 1 três vezes em seis lançamentos, sendo que a terceira vez tem que ser no sexto lançamento. Vamos usar conceitos de combinatória e probabilidade de eventos independentes pra resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que cada lançamento de dado é independente, ou seja, o resultado de um não influencia o outro. A probabilidade de tirar um 1 em um lançamento é e de não tirar 1 é .

Passo 3

Como a terceira vez que tiramos 1 precisa ser no sexto lançamento, nos primeiros cinco lançamentos devemos ter exatamente duas vezes a face 1. Para isso, usamos a combinação que calcula de quantas maneiras podemos escolher 2 lançamentos de 1 nos 5 primeiros. A fórmula da combinação é:
C(n, k) = n!k!(n - k)!
Aqui, C(5, 2) = 5!2! times 3! = 10 e , então:

Passo 4

Agora, vamos calcular a probabilidade de tirar exatamente duas faces 1 nos primeiros cinco lançamentos e uma face 1 no sexto lançamento. Isso fica:
P = C(5, 2) times (16)^2 times (56)^3 times 16
Simplificando:
P = 10 times (16)^3 times (56)^3

Passo 5

Vamos calcular os valores:
(16)^3 = 1216
(56)^3 = 125216
Multiplicando tudo:
P = 10 times 1216 times 125216 = 10 times 12546656 = 125046656 approx 0,0268

Resposta

A probabilidade de vencer o jogo é aproximadamente 2,68%.

Exercícios relacionados

Deseja-se estudar a qualidade de um equipamento eletrônico. Em uma amostra de 12 equipamentos que foi avaliada, obteve-se duração média de 2,5 anos com desvio-padrão de 0,5 ano. Nesta amostra 4 equipamentos apresentavam defeito.

Forneça:

d) intervalo de 95 % de confiança para o tempo médio de duração
As probabilidades de que haja 1,2,3,4, ou 5 pessoas nos carros que passam por um pedágio são, respectivamente, 0.05,0.20,0.40,0.25 e 0.10 . Seja X= número de passageiros por veículo.
c) Calcule a probabilidade de que, num grupo de 5 carros, pelo menos um tenha mais que 3 pessoas.
Deseja-se estudar a qualidade de um equipamento eletrônico. Em uma amostra de 12 equipamentos que foi avaliada, obteve-se duração média de 2,5 anos com desvio-padrão de 0,5 ano. Nesta amostra 4 equipamentos apresentavam defeito.

Forneça:

g) intervalo de 92 % de confiança para a proporção de equipamentos defeituosos