Uma caixa de 12 kg em repouso sobre uma superfície horizontal e livre de atrito está atada a um peso de 5 kg por um cabo delgado e leve que passa sobre uma polia com atrito desprezível. A polia possui a forma de um disco maciço e uniforme com massa de 2 kg e diâmetro de
. Após o sistema ser libertado, ache os componentes horizontal e vertical da força que o eixo exerce sobre a polia.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente tem uma caixa de 12 kg parada sobre uma superfície sem atrito, ligada por um cabo a um peso de 5 kg. Esse cabo passa por uma polia que é um disco maciço e tem massa de 2 kg e diâmetro de 0,500 m. Quando a gente solta o sistema, precisa descobrir quais são as componentes horizontal e vertical da força que o eixo da polia exerce sobre ela. A matéria envolvida aqui é a estática e dinâmica rotacional, e vamos precisar usar as leis de Newton para movimentos translacionais e rotacionais.
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar o diagrama de forças para cada objeto: a caixa, o peso e a polia. Isso ajuda a visualizar todas as forças atuando no sistema.
Passo 3
Para a caixa de 12 kg, as forças são: a força de tração do cabo $ T_1 $ puxando horizontalmente e a força normal $ N $ do chão segurando a caixa verticalmente. Como a superfície é sem atrito e a caixa está ligando ao cabo, a caixa vai acelerar horizontalmente.
Passo 4
Para o peso de 5 kg, as forças são: a força da gravidade $ m g $ puxando para baixo e a força de tração do cabo $ T_2 $ puxando para cima. Esse peso vai causar a rotação da polia.
Passo 5
Na polia, temos o torque causado pelas tensões $ T_1 $ e $ T_2 $. A polia também tem inércia devido à sua massa e sua configuração como disco. Precisamos relacionar o torque com a aceleração angular.
Passo 6
Vamos aplicar a segunda lei de Newton para a translação na caixa e no peso, e a segunda lei de Newton para a rotação na polia.
Para a caixa:
Para o peso:
Para a polia:
Onde $ r $ é o raio da polia, $ I $ é o momento de inércia e $ \alpha $ é a aceleração angular.
Passo 7
Como a polia é um disco maciço, o momento de inércia $ I $ é:
E a relação entre aceleração linear $ a $ e angular $ \alpha $ é:
Passo 8
Vamos substituindo $ \alpha = \frac{a}{r} $ na equação da polia:
Simplificando:
Passo 9
Agora, temos um sistema de três equações:
- $ T_1 = m_{caixa} \cdot a $
- $ m_{peso} \cdot g - T_2 = m_{peso} \cdot a $
- $ T_2 - T_1 = \frac{1}{2} m_{polia} \cdot a $
Vamos substituir $ T_1 $ da primeira equação na terceira:
Passo 10
Agora, substituímos $ T_2 $ na segunda equação:
Passo 11
Vamos calcular a aceleração $ a $:
- $ m_{peso} = 5 , kg $
- $ g = 9,8 , m/s^2 $
- $ m_{polia} = 2 , kg $
- $ m_{caixa} = 12 , kg $
Passo 12
Agora que temos $ a $, podemos encontrar $ T_1 $ e $ T_2 $:
Passo 13
Agora, vamos determinar as forças que o eixo da polia exerce sobre ela. As forças verticais são a soma das forças para cima menos as forças para baixo:
- Força para cima: força normal $ N $
- Forças para baixo: $ T_1 $ e $ T_2 $
Para o eixo:
A componente horizontal é a diferença entre as tensões que puxam a polia:
Resposta
Os componentes da força que o eixo exerce sobre a polia são:
- Horizontal: $ 2,72 , N $
- Vertical: $ 68,00 , N $