Uma caixa de 12 kg em repouso sobre uma superfície horizontal e livre de atrito está atada a um peso de 5 kg por um cabo delgado e leve que passa sobre uma polia com atrito desprezível. A polia possui a forma de um disco maciço e uniforme com massa de 2 kg e diâmetro de 0,500 m. Após o sistema ser libertado, ache os componentes horizontal e vertical da força que o eixo exerce sobre a polia.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente tem uma caixa de 12 kg parada sobre uma superfície sem atrito, ligada por um cabo a um peso de 5 kg. Esse cabo passa por uma polia que é um disco maciço e tem massa de 2 kg e diâmetro de 0,500 m. Quando a gente solta o sistema, precisa descobrir quais são as componentes horizontal e vertical da força que o eixo da polia exerce sobre ela. A matéria envolvida aqui é a estática e dinâmica rotacional, e vamos precisar usar as leis de Newton para movimentos translacionais e rotacionais.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar o diagrama de forças para cada objeto: a caixa, o peso e a polia. Isso ajuda a visualizar todas as forças atuando no sistema.

Passo 3

Para a caixa de 12 kg, as forças são: a força de tração do cabo $ T_1 $ puxando horizontalmente e a força normal $ N $ do chão segurando a caixa verticalmente. Como a superfície é sem atrito e a caixa está ligando ao cabo, a caixa vai acelerar horizontalmente.

Passo 4

Para o peso de 5 kg, as forças são: a força da gravidade $ m g $ puxando para baixo e a força de tração do cabo $ T_2 $ puxando para cima. Esse peso vai causar a rotação da polia.

Passo 5

Na polia, temos o torque causado pelas tensões $ T_1 $ e $ T_2 $. A polia também tem inércia devido à sua massa e sua configuração como disco. Precisamos relacionar o torque com a aceleração angular.

Passo 6

Vamos aplicar a segunda lei de Newton para a translação na caixa e no peso, e a segunda lei de Newton para a rotação na polia.
Para a caixa:
T1 = mcaixa cdot a
Para o peso:
mpeso cdot g - T2 = mpeso cdot a
Para a polia:
(T2 - T1) cdot r = I cdot alpha
Onde $ r $ é o raio da polia, $ I $ é o momento de inércia e $ \alpha $ é a aceleração angular.

Passo 7

Como a polia é um disco maciço, o momento de inércia $ I $ é:
I
E a relação entre aceleração linear $ a $ e angular $ \alpha $ é:
I = 12 mpolia cdot r^2

Passo 8

Vamos substituindo $ \alpha = \frac{a}{r} $ na equação da polia:
alpha = ar
Simplificando:
(T2 - T1) cdot r = 12 mpolia cdot r^2 cdot ar

Passo 9

Agora, temos um sistema de três equações:
  1. $ T_1 = m_{caixa} \cdot a $
  2. $ m_{peso} \cdot g - T_2 = m_{peso} \cdot a $
  3. $ T_2 - T_1 = \frac{1}{2} m_{polia} \cdot a $
Vamos substituir $ T_1 $ da primeira equação na terceira:
T1 = mcaixa cdot a
mpeso cdot g - T2 = mpeso cdot a
T2 - T1 = 12 mpolia cdot a

Passo 10

Agora, substituímos $ T_2 $ na segunda equação:
T2
mpeso cdot g - ( 12 mpolia + mcaixa ) a = mpeso cdot a
mpeso cdot g = ( 12 mpolia + mcaixa + mpeso ) a

Passo 11

Vamos calcular a aceleração $ a $:
  • $ m_{peso} = 5 , kg $
  • $ g = 9,8 , m/s^2 $
  • $ m_{polia} = 2 , kg $
  • $ m_{caixa} = 12 , kg $
a
mpeso = 5 , kg
g = 9,8 , m/s^2
mpolia = 2 , kg

Passo 12

Agora que temos $ a $, podemos encontrar $ T_1 $ e $ T_2 $:
a
T1
T2
T1 = 12 cdot 2,72 approx 32,64 , N

Passo 13

Agora, vamos determinar as forças que o eixo da polia exerce sobre ela. As forças verticais são a soma das forças para cima menos as forças para baixo:
  • Força para cima: força normal $ N $
  • Forças para baixo: $ T_1 $ e $ T_2 $
Para o eixo:
N
T1
T2
A componente horizontal é a diferença entre as tensões que puxam a polia:
N = T1 + T2
N = 32,64 + 35,36
N = 68 , N

Resposta

Os componentes da força que o eixo exerce sobre a polia são:
  • Horizontal: $ 2,72 , N $
  • Vertical: $ 68,00 , N $

Exercícios relacionados