Problem 2.46 The electric potential of some configuration is given by the expression
where
and
are constants. Find the electric field
, the charge density
, and the total charge
. [Answer:
(Section 2.4) What are the basic properties of conductors?
(Section 2.4) What are the basic properties of conductors?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem nesse exercício é a expressão do potencial elétrico
, onde
e
são constantes. A gente precisa encontrar o campo elétrico
, a densidade de carga
e a carga total
. O conteúdo principal aqui é eletrostática, especificamente as relações entre potencial elétrico, campo elétrico e densidade de carga. Para resolver isso, vamos precisar usar derivadas vetoriais, como o gradiente, e as equações de Maxwell, especialmente a Lei de Gauss na forma diferencial.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o campo elétrico
. Sabemos que o campo elétrico está relacionado ao potencial elétrico pela relação:
Isso significa que vamos calcular o gradiente do potencial
.
Calculando o gradiente em coordenadas esféricas para uma função que depende apenas da distância
:
Então, derivamos
:
Portanto, o campo elétrico fica:
Passo 3
Agora, vamos determinar a densidade de carga
. Para isso, usamos a Lei de Gauss na forma diferencial, que relaciona o divergente do campo elétrico com a densidade de carga:
Mas também podemos usar a equação de Poisson, que relaciona o potencial elétrico com a densidade de carga:
Vamos usar a equação de Poisson para facilitar os cálculos. Primeiro, calculamos o laplaciano de
em coordenadas esféricas:
Já temos
, então:
Simplificando:
Portanto:
Agora, aplicando a equação de Poisson:
Resolvendo para
:
Mas precisamos considerar também a carga pontual no centro, que é representada pela função delta de Dirac
. Portanto, a densidade de carga completa é:
Passo 4
Por último, vamos encontrar a carga total
. A carga total é a integral da densidade de carga sobre todo o espaço:
Substituindo
:
A integral da função delta é 1, e a segunda parte pode ser resolvida em coordenadas esféricas:
Dependendo dos valores de
e
, a carga total pode variar, mas essencialmente,
está relacionada aos parâmetros do potencial.