Problem 2.46 The electric potential of some configuration is given by the expression
V(r)=A e^-lambda rr
where A and lambda are constants. Find the electric field E(r), the charge density rho(r), and the total charge Q. [Answer: rho=epsilon0 A(4 pi de
(Section 2.4) What are the basic properties of conductors?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem nesse exercício é a expressão do potencial elétrico , onde e são constantes. A gente precisa encontrar o campo elétrico , a densidade de carga e a carga total . O conteúdo principal aqui é eletrostática, especificamente as relações entre potencial elétrico, campo elétrico e densidade de carga. Para resolver isso, vamos precisar usar derivadas vetoriais, como o gradiente, e as equações de Maxwell, especialmente a Lei de Gauss na forma diferencial.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o campo elétrico E = -nabla V . Sabemos que o campo elétrico está relacionado ao potencial elétrico pela relação:
nabla V = dVdr r
Isso significa que vamos calcular o gradiente do potencial dVdr = ddr ( A e^-lambda rr ) = A ( -lambda e^-lambda rr - e^-lambda rr^2 ) .
Calculando o gradiente em coordenadas esféricas para uma função que depende apenas da distância E(r) = -dVdr r = A ( lambda e^-lambda rr + e^-lambda rr^2 ) r :
Então, derivamos :
Portanto, o campo elétrico fica:

Passo 3

Agora, vamos determinar a densidade de carga nabla cdot E = rhoepsilon0 . Para isso, usamos a Lei de Gauss na forma diferencial, que relaciona o divergente do campo elétrico com a densidade de carga:
nabla^2 V = -rhoepsilon0
Mas também podemos usar a equação de Poisson, que relaciona o potencial elétrico com a densidade de carga:
nabla^2 V = 1r^2 ddr ( r^2 dVdr )
Vamos usar a equação de Poisson para facilitar os cálculos. Primeiro, calculamos o laplaciano de ddr ( r^2 dVdr ) = ddr ( r^2 ( -lambda e^-lambda rr - e^-lambda rr^2 ) ) em coordenadas esféricas:
ddr ( -lambda r e^-lambda r - e^-lambda r ) = lambda^2 r e^-lambda r
Já temos nabla^2 V = lambda^2 e^-lambda rr , então:
lambda^2 e^-lambda rr = -rhoepsilon0
Simplificando:
rho(r) = -epsilon0 lambda^2 e^-lambda rr
Portanto:
rho(r) = epsilon0 A (4 pi de
Agora, aplicando a equação de Poisson:
Resolvendo para :
Mas precisamos considerar também a carga pontual no centro, que é representada pela função delta de Dirac . Portanto, a densidade de carga completa é:

Passo 4

Por último, vamos encontrar a carga total Q = integral rho(r) , dV . A carga total é a integral da densidade de carga sobre todo o espaço:
Q = epsilon0 A integral (4 pi de
Substituindo Q = epsilon0 A (4 pi - lambda^2 integral0^infty e^-lambda rr 4 pi r^2 dr ) = epsilon0 A (4 pi - lambda^2 cdot 4 pilambda ) = epsilon0 A (4 pi - 4 pi lambda) :
A integral da função delta é 1, e a segunda parte pode ser resolvida em coordenadas esféricas:
Dependendo dos valores de e , a carga total pode variar, mas essencialmente, está relacionada aos parâmetros do potencial.

Resposta

rho(r) = epsilon0 A (4 pi de

Exercícios relacionados