Problem 2.46 The electric potential of some configuration is given by the expression
where and are constants. Find the electric field , the charge density , and the total charge . [Answer:
(Section 2.4) What are the basic properties of conductors?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem nesse exercício é a expressão do potencial elétrico , onde e são constantes. A gente precisa encontrar o campo elétrico , a densidade de carga e a carga total . O conteúdo principal aqui é eletrostática, especificamente as relações entre potencial elétrico, campo elétrico e densidade de carga. Para resolver isso, vamos precisar usar derivadas vetoriais, como o gradiente, e as equações de Maxwell, especialmente a Lei de Gauss na forma diferencial.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o campo elétrico . Sabemos que o campo elétrico está relacionado ao potencial elétrico pela relação:
Isso significa que vamos calcular o gradiente do potencial .
Calculando o gradiente em coordenadas esféricas para uma função que depende apenas da distância :
Então, derivamos :
Portanto, o campo elétrico fica:

Passo 3

Agora, vamos determinar a densidade de carga . Para isso, usamos a Lei de Gauss na forma diferencial, que relaciona o divergente do campo elétrico com a densidade de carga:
Mas também podemos usar a equação de Poisson, que relaciona o potencial elétrico com a densidade de carga:
Vamos usar a equação de Poisson para facilitar os cálculos. Primeiro, calculamos o laplaciano de em coordenadas esféricas:
Já temos , então:
Simplificando:
Portanto:
Agora, aplicando a equação de Poisson:
Resolvendo para :
Mas precisamos considerar também a carga pontual no centro, que é representada pela função delta de Dirac . Portanto, a densidade de carga completa é:

Passo 4

Por último, vamos encontrar a carga total . A carga total é a integral da densidade de carga sobre todo o espaço:
Substituindo :
A integral da função delta é 1, e a segunda parte pode ser resolvida em coordenadas esféricas:
Dependendo dos valores de e , a carga total pode variar, mas essencialmente, está relacionada aos parâmetros do potencial.

Resposta

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