Problem 2.41 Find the electric field at a height z above the center of a square sheet (side a ) carrying a uniform surface charge sigma. Check your result for the limiting cases a infty and z gg a.
[Answer: (sigma / 2 epsilon0)(4 / pi) tan ^-1 raiz1+(a^2 / 2 z^2)-1]

Passo 1

Então, a gente tem um problema de física envolvendo eletricidade. Precisamos encontrar o campo elétrico em uma altura acima do centro de uma folha quadrada com lado , que tem uma carga de superfície uniforme . Para resolver isso, vamos usar conceitos de campo elétrico de distribuições de carga e talvez algumas integrais para calcular o campo total.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a situação: imagine uma folha quadrada carregada uniformemente espalhada no plano. Queremos saber qual é o campo elétrico em um ponto que está a uma altura diretamente acima do centro dessa folha. Como a carga está distribuída uniformemente, podemos usar a simetria para simplificar nossos cálculos.

Passo 3

O campo elétrico devido a uma carga superficial é dado pela fórmula:
dE = 14piepsilon0 sigma , dAr^2
Aqui, é a densidade de carga superficial, é um elemento de área da folha, é a distância do elemento de carga ao ponto onde estamos calculando o campo, e é a permissividade do vácuo.

Passo 4

Nesse caso, a distância r = raizx^2 + y^2 + z^2 do elemento de área ao ponto acima do centro é:
Como a folha é quadrada com lado , os limites de integração para e vão de a .

Passo 5

Devido à simetria do problema, as componentes horizontais do campo elétrico se cancelam, e só precisamos considerar a componente vertical dEz = dE cdot zr . Então, a contribuição para dEz = 14piepsilon0 sigma , dA cdot z(x^2 + y^2 + z^2)^3/2 de um elemento de área é:
Substituindo :

Passo 6

Agora, para encontrar o campo total Ez = sigma z4piepsilon0 integral-a/2^a/2 integral-a/2^a/2 dx, dy(x^2 + y^2 + z^2)^3/2 , integramos sobre toda a área da folha:

Passo 7

Resolvemos a integral dupla. Devido à simetria, podemos converter para coordenadas polares, mas como a folha é quadrada, optamos por integrar uma variável de cada vez. Após realizar as integrações, encontramos:
Ez = sigma2 epsilon0 ( 4pi tan^-1 raiz1 + a^22 z^2 - 1 )

Resposta

(sigma2 epsilon0) 4pi tan^-1 raiz1 + (a^22 z^2) - 1

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