Problem 2.41 Find the electric field at a height above the center of a square sheet (side ) carrying a uniform surface charge . Check your result for the limiting cases and .
[Answer:
Passo 1
Então, a gente tem um problema de física envolvendo eletricidade. Precisamos encontrar o campo elétrico em uma altura acima do centro de uma folha quadrada com lado , que tem uma carga de superfície uniforme . Para resolver isso, vamos usar conceitos de campo elétrico de distribuições de carga e talvez algumas integrais para calcular o campo total.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a situação: imagine uma folha quadrada carregada uniformemente espalhada no plano. Queremos saber qual é o campo elétrico em um ponto que está a uma altura diretamente acima do centro dessa folha. Como a carga está distribuída uniformemente, podemos usar a simetria para simplificar nossos cálculos.
Passo 3
O campo elétrico devido a uma carga superficial é dado pela fórmula:
Aqui, é a densidade de carga superficial, é um elemento de área da folha, é a distância do elemento de carga ao ponto onde estamos calculando o campo, e é a permissividade do vácuo.
Passo 4
Nesse caso, a distância do elemento de área ao ponto acima do centro é:
Como a folha é quadrada com lado , os limites de integração para e vão de a .
Passo 5
Devido à simetria do problema, as componentes horizontais do campo elétrico se cancelam, e só precisamos considerar a componente vertical . Então, a contribuição para de um elemento de área é:
Substituindo :
Passo 6
Agora, para encontrar o campo total , integramos sobre toda a área da folha:
Passo 7
Resolvemos a integral dupla. Devido à simetria, podemos converter para coordenadas polares, mas como a folha é quadrada, optamos por integrar uma variável de cada vez. Após realizar as integrações, encontramos: