Problem 2.42 If the electric field in some region is given (in spherical coordinates) by the expression
where and are constants, what is the charge density? [Answer: ]

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um exercício de eletromagnetismo onde a gente precisa encontrar a densidade de carga elétrica a partir de um campo elétrico dado em coordenadas esféricas. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente o divergente em coordenadas esféricas, e a Lei de Gauss na sua forma diferencial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma coisa importante: a densidade de carga elétrica, que a gente denota por , está relacionada ao campo elétrico pela Lei de Gauss na forma diferencial. A equação que conecta essas duas grandezas é:
Aqui, é a permissividade do vácuo e representa o divergente do campo elétrico.

Passo 3

Agora, precisamos calcular o divergente do campo elétrico dado. Em coordenadas esféricas , o campo elétrico é:
Onde e são constantes, e e são os vetores unitários nas direções radial e azimutal, respectivamente.

Passo 4

Para calcular o divergente em coordenadas esféricas, usamos a seguinte fórmula:
No nosso caso, e . Como não temos componente (ou seja, ), a fórmula simplifica para:
Calculando cada termo:
  1. Primeiro termo:
  2. Segundo termo:

Passo 5

Agora, somamos os dois termos que calculamos:
Finalmente, aplicando a relação da Lei de Gauss:

Resposta

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