Problem 2.42 If the electric field in some region is given (in spherical coordinates) by the expression
E(r)=A r+B sin theta cos phi phir
where A and B are constants, what is the charge density? [Answer: epsilon0(A-B sin phi) / r^2 ]

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um exercício de eletromagnetismo onde a gente precisa encontrar a densidade de carga elétrica a partir de um campo elétrico dado em coordenadas esféricas. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente o divergente em coordenadas esféricas, e a Lei de Gauss na sua forma diferencial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma coisa importante: a densidade de carga elétrica, que a gente denota por rho, está relacionada ao campo elétrico E pela Lei de Gauss na forma diferencial. A equação que conecta essas duas grandezas é:
rho = epsilon0 nabla cdot E
Aqui, epsilon0 é a permissividade do vácuo e nabla cdot E representa o divergente do campo elétrico.

Passo 3

Agora, precisamos calcular o divergente do campo elétrico dado. Em coordenadas esféricas (r, theta, phi), o campo elétrico é:
E(r) = A r + B sin theta cos phi phir
Onde A e B são constantes, e r e phi são os vetores unitários nas direções radial e azimutal, respectivamente.

Passo 4

Para calcular o divergente em coordenadas esféricas, usamos a seguinte fórmula:
nabla cdot E = 1r^2 partialpartial r(r^2 Er) + 1r sin theta ( partialpartial theta(Etheta sin theta) + partial Ephipartial phi )
No nosso caso, Er = Ar e Ephi = B sin theta cos phir. Como não temos componente theta (ou seja, Etheta = 0), a fórmula simplifica para:
nabla cdot E = 1r^2 partialpartial r(A r) + 1r sin theta partialpartial phi(B sin theta cos phir)
Calculando cada termo:
  1. Primeiro termo:
    1r^2 partialpartial r(A r) = 1r^2 cdot A = Ar^2
  2. Segundo termo:
    1r sin theta cdot partialpartial phi(B sin theta cos phir) = 1r sin theta cdot (-B sin theta sin phir) = -B sin phir^2

Passo 5

Agora, somamos os dois termos que calculamos:
nabla cdot E = Ar^2 - B sin phir^2 = A - B sin phir^2
Finalmente, aplicando a relação da Lei de Gauss:
rho = epsilon0 nabla cdot E = epsilon0 ( A - B sin phir^2 )

Resposta

rho = epsilon0(A - B sin phi)r^2

Exercícios relacionados