Problem 2.42 If the electric field in some region is given (in spherical coordinates) by the expression
where
and
are constants, what is the charge density? [Answer:
]
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um exercício de eletromagnetismo onde a gente precisa encontrar a densidade de carga elétrica a partir de um campo elétrico dado em coordenadas esféricas. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente o divergente em coordenadas esféricas, e a Lei de Gauss na sua forma diferencial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar de uma coisa importante: a densidade de carga elétrica, que a gente denota por
, está relacionada ao campo elétrico
pela Lei de Gauss na forma diferencial. A equação que conecta essas duas grandezas é:
Aqui,
é a permissividade do vácuo e
representa o divergente do campo elétrico.
Passo 3
Agora, precisamos calcular o divergente do campo elétrico dado. Em coordenadas esféricas
, o campo elétrico é:
Onde
e
são constantes, e
e
são os vetores unitários nas direções radial e azimutal, respectivamente.
Passo 4
Para calcular o divergente em coordenadas esféricas, usamos a seguinte fórmula:
No nosso caso,
e
. Como não temos componente
(ou seja,
), a fórmula simplifica para:
Calculando cada termo:
-
Primeiro termo:
-
Segundo termo:
Passo 5
Agora, somamos os dois termos que calculamos:
Finalmente, aplicando a relação da Lei de Gauss:
Resposta
Exercícios relacionados
Problem 2.41 Find the electric field at a height
above the center of a square sheet (side
) carrying a uniform surface charge
. Check your result for the limiting cases
and
.
[Answer:
[Answer:
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and radius
, using
Problem 2.46 The electric potential of some configuration is given by the expression
where
and
are constants. Find the electric field
, the charge density
, and the total charge
. [Answer:
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