Problema 12 Um disco homogêneo de massa e raio rola suavemente a a partir do repouso descendo uma rampa inclinada com angulo . A bola desce uma distancia vertical para chegar a base da rampa. Qual é a velocidade da bola ao chegar a base da rampa? Quantas voltas o disco da até terminar de rolar a rampa?

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é um problema de física envolvendo um disco que está rolando descendo uma rampa inclinada. A massa do disco é 2 kg, o raio é 0,5 m, e ele começa do repouso. A rampa está inclinada a 30 graus, e o disco desce uma altura vertical de 9 metros até a base. A gente precisa descobrir duas coisas: qual a velocidade do disco quando ele chega na base da rampa e quantas voltas ele dá até terminar de rolar a rampa.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de energia mecânica e rotação. Precisaremos entender como a energia se divide entre energia cinética de translação e rotação, além de usar fórmulas de movimento circular.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a velocidade do disco na base da rampa usando o princípio da conservação de energia. A energia potencial gravitacional que o disco tem no topo vai se transformar em energia cinética na base.
A energia potencial no topo é dada por:
Onde:
  • é a massa do disco,
  • é a aceleração da gravidade,
  • é a altura.

Passo 3

A energia cinética na base da rampa tem duas partes: a energia cinética de translação (devido ao movimento linear do centro de massa) e a energia cinética de rotação (devido à rotação do disco).
A energia cinética total é:
Para um disco, o momento de inércia é:
E como o disco está rolando sem deslizar, a velocidade linear está relacionada à velocidade angular por:

Passo 4

Substituindo na fórmula da energia cinética:

Passo 5

Pela conservação de energia, a energia potencial inicial é igual à energia cinética na base:
Podemos cancelar a massa dos dois lados:

Passo 6

Resolvendo para :
Substituindo os valores:

Passo 7

Agora, vamos calcular quantas voltas o disco dá até terminar de rolar a rampa. Para isso, precisamos saber a distância total percorrida na base da rampa e a circunferência do disco.
Primeiro, calculamos o comprimento da rampa usando a altura e o ângulo de inclinação:
A circunferência do disco é:

Passo 8

O número de voltas é a distância total dividida pela circunferência:

Resposta

A velocidade do disco ao chegar na base da rampa é aproximadamente e ele dá cerca de voltas até terminar de rolar a rampa.

Exercícios relacionados

Calcule o diâmetro de uma canalização para conduzir uma vazão de , com velocidade média do líquido em seu interior de .
Problema 11 Uma bola de boliche sobe por uma rampa de de altura sem escorregar para o armazenamento. Tem uma velocidade inicial de seu centro de massa de . (a) Qual é a velocidade no topo da rampa? (b) Se a rampa tem de altura, ela chega ao topo?
Dados: Momento de inerciá da da bola
(a) Qual a diferença entre um material dielétrico polar e um apolar (não polar)?
Suponha que as baterias do exercício 2 tenham resistências internas desprezíveis e que . Determine (a) a corrente no circuito; (b) a potência dissipada no resistor R; e © a potência de cada bateria, indicando se a energia é fornecida ou absorvida por cada bateria. R: (a) ; (b) ; © e .