Problema 12 Um disco homogêneo de massa
e raio
rola suavemente a a partir do repouso descendo uma rampa inclinada com angulo
. A bola desce uma distancia vertical
para chegar a base da rampa. Qual é a velocidade da bola ao chegar a base da rampa? Quantas voltas o disco da até terminar de rolar a rampa?
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é um problema de física envolvendo um disco que está rolando descendo uma rampa inclinada. A massa do disco é 2 kg, o raio é 0,5 m, e ele começa do repouso. A rampa está inclinada a 30 graus, e o disco desce uma altura vertical de 9 metros até a base. A gente precisa descobrir duas coisas: qual a velocidade do disco quando ele chega na base da rampa e quantas voltas ele dá até terminar de rolar a rampa.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de energia mecânica e rotação. Precisaremos entender como a energia se divide entre energia cinética de translação e rotação, além de usar fórmulas de movimento circular.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a velocidade do disco na base da rampa usando o princípio da conservação de energia. A energia potencial gravitacional que o disco tem no topo vai se transformar em energia cinética na base.
A energia potencial no topo é dada por:
Onde:
-
é a massa do disco, -
é a aceleração da gravidade, -
é a altura.
Passo 3
A energia cinética na base da rampa tem duas partes: a energia cinética de translação (devido ao movimento linear do centro de massa) e a energia cinética de rotação (devido à rotação do disco).
A energia cinética total é:
Para um disco, o momento de inércia
é:
E como o disco está rolando sem deslizar, a velocidade linear
está relacionada à velocidade angular
por:
Passo 4
Substituindo
na fórmula da energia cinética:
Passo 5
Pela conservação de energia, a energia potencial inicial é igual à energia cinética na base:
Podemos cancelar a massa
dos dois lados:
Passo 6
Resolvendo para
:
Substituindo os valores:
Passo 7
Agora, vamos calcular quantas voltas o disco dá até terminar de rolar a rampa. Para isso, precisamos saber a distância total percorrida na base da rampa e a circunferência do disco.
Primeiro, calculamos o comprimento da rampa usando a altura e o ângulo de inclinação:
A circunferência do disco é:
Passo 8
O número de voltas
é a distância total dividida pela circunferência:
Resposta
A velocidade do disco ao chegar na base da rampa é aproximadamente
e ele dá cerca de
voltas até terminar de rolar a rampa.
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; (b)
; ©
e
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