Problema 12 Um disco homogêneo de massa M=2 kg e raio R=0.5 m rola suavemente a a partir do repouso descendo uma rampa inclinada com angulo theta=30^circ. A bola desce uma distancia vertical h=9 m para chegar a base da rampa. Qual é a velocidade da bola ao chegar a base da rampa? Quantas voltas o disco da até terminar de rolar a rampa?

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é um problema de física envolvendo um disco que está rolando descendo uma rampa inclinada. A massa do disco é 2 kg, o raio é 0,5 m, e ele começa do repouso. A rampa está inclinada a 30 graus, e o disco desce uma altura vertical de 9 metros até a base. A gente precisa descobrir duas coisas: qual a velocidade do disco quando ele chega na base da rampa e quantas voltas ele dá até terminar de rolar a rampa.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de energia mecânica e rotação. Precisaremos entender como a energia se divide entre energia cinética de translação e rotação, além de usar fórmulas de movimento circular.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a velocidade do disco na base da rampa usando o princípio da conservação de energia. A energia potencial gravitacional que o disco tem no topo vai se transformar em energia cinética na base.
A energia potencial no topo é dada por:
Ep = m cdot g cdot h
Onde:
  • é a massa do disco,
  • é a aceleração da gravidade,
  • é a altura.

Passo 3

A energia cinética na base da rampa tem duas partes: a energia cinética de translação (devido ao movimento linear do centro de massa) e a energia cinética de rotação (devido à rotação do disco).
A energia cinética total é:
Ek = 12 m v^2 + 12 I omega^2
Para um disco, o momento de inércia I = 12 m R^2 é:
v = omega R
E como o disco está rolando sem deslizar, a velocidade linear está relacionada à velocidade angular por:

Passo 4

Substituindo Ek = 12 m v^2 + 12 ( 12 m R^2 ) ( vR )^2 na fórmula da energia cinética:
Ek = 12 m v^2 + 14 m v^2
Ek = 34 m v^2

Passo 5

Pela conservação de energia, a energia potencial inicial é igual à energia cinética na base:
m cdot g cdot h = 34 m v^2
Podemos cancelar a massa g cdot h = 34 v^2 dos dois lados:

Passo 6

Resolvendo para v^2 = 43 g h :
v = raiz 43 g h
v = raiz 43 cdot 9,8 , m/s^2 cdot 9 , m
Substituindo os valores:
v = raiz 43 cdot 88,2
v = raiz 117,6
v approx 10,84 , m/s

Passo 7

Agora, vamos calcular quantas voltas o disco dá até terminar de rolar a rampa. Para isso, precisamos saber a distância total percorrida na base da rampa e a circunferência do disco.
Primeiro, calculamos o comprimento da rampa usando a altura e o ângulo de inclinação:
L = hsin theta
L = 9sin 30^circ
L = 90,5
L = 18 , m
A circunferência do disco é:
C = 2 pi R
C = 2 pi cdot 0,5
C = pi , m

Passo 8

O número de voltas N = LC é a distância total dividida pela circunferência:
N = 18pi
N approx 5,73 , vo

Resposta

A velocidade do disco ao chegar na base da rampa é aproximadamente e ele dá cerca de voltas até terminar de rolar a rampa.

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