Problema 11 Uma bola de boliche sobe por uma rampa de
de altura sem escorregar para o armazenamento. Tem uma velocidade inicial de seu centro de massa de
. (a) Qual é a velocidade no topo da rampa? (b) Se a rampa tem
de altura, ela chega ao topo?
Dados: Momento de inerciá da da bola
Dados: Momento de inerciá da da bola
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está nos pedindo. Temos uma bola de boliche que sobe por uma rampa até chegar a uma certa altura. Inicialmente, a bola tem uma velocidade de
no seu centro de massa. Precisamos descobrir:
a) Qual será a velocidade da bola no topo da rampa de
de altura.
b) Se a rampa tiver
de altura, a bola conseguirá chegar até o topo.
Para resolver isso, vamos usar os conceitos de energia cinética e energia potencial gravitacional, além de considerar a energia de rotação da bola, já que ela está rolando sem escorregar.
Passo 2
Vamos começar calculando a energia total da bola no ponto inicial. A energia total (
) é a soma da energia cinética translacional (
) e da energia cinética rotacional (
).
A energia cinética translacional é dada por:
Onde:
-
é a massa da bola, -
é a velocidade do centro de massa.
A energia cinética rotacional é dada por:
Onde:
-
é o momento de inércia da bola, -
é a velocidade angular.
Como a bola está rolando sem escorregar, temos a relação:
Onde
é o raio da bola.
Dado que o momento de inércia
, podemos substituir na fórmula da energia cinética rotacional.
Passo 3
Substituindo
na energia cinética rotacional:
Então, a energia total inicial é:
Passo 4
À medida que a bola sobe a rampa, ela ganha energia potencial gravitacional (
) e perde energia cinética. A energia potencial é dada por:
Onde:
-
é a aceleração da gravidade ( ), -
é a altura da rampa.
No ponto mais alto, toda a energia cinética será convertida em energia potencial, então igualamos a energia total inicial à energia potencial:
Podemos simplificar
dos dois lados da equação:
Passo 5
Agora, para encontrar a velocidade final no topo da rampa, vamos resolver para
. No topo, a velocidade será zero se toda a energia for convertida em potencial. Porém, como queremos a velocidade no topo, consideramos que não toda a energia é convertida, e precisamos rearranjar a equação para encontrar
.
A energia total no topo será apenas a energia potencial mais a energia cinética restante:
Vamos isolar
:
Passo 6
Agora, substituímos os valores dados para resolver as partes (a) e (b):
a) Para
e
:
b) Para
:
Resposta
a) A velocidade no topo da rampa de
é aproximadamente
.
b) Sim, se a rampa tiver
de altura, a bola ainda chega ao topo com uma velocidade de aproximadamente
.
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