Problema 11 Uma bola de boliche sobe por uma rampa de 0,8 m de altura sem escorregar para o armazenamento. Tem uma velocidade inicial de seu centro de massa de 8,0 m / s. (a) Qual é a velocidade no topo da rampa? (b) Se a rampa tem 1 m de altura, ela chega ao topo?
Dados: Momento de inerciá da da bola I=25 M R^2

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está nos pedindo. Temos uma bola de boliche que sobe por uma rampa até chegar a uma certa altura. Inicialmente, a bola tem uma velocidade de no seu centro de massa. Precisamos descobrir:
a) Qual será a velocidade da bola no topo da rampa de de altura.
b) Se a rampa tiver de altura, a bola conseguirá chegar até o topo.
Para resolver isso, vamos usar os conceitos de energia cinética e energia potencial gravitacional, além de considerar a energia de rotação da bola, já que ela está rolando sem escorregar.

Passo 2

Vamos começar calculando a energia total da bola no ponto inicial. A energia total ( Ecin, trans = 12 M v^2 ) é a soma da energia cinética translacional ( Ecin, rot = 12 I omega^2 ) e da energia cinética rotacional ( v = omega R ).
A energia cinética translacional é dada por:
Onde:
  • é a massa da bola,
  • é a velocidade do centro de massa.
A energia cinética rotacional é dada por:
Onde:
  • é o momento de inércia da bola,
  • é a velocidade angular.
Como a bola está rolando sem escorregar, temos a relação:
Onde é o raio da bola.
Dado que o momento de inércia , podemos substituir na fórmula da energia cinética rotacional.

Passo 3

Substituindo Ecin, rot = 12 ( 25 M R^2 ) ( vR )^2 = 12 ( 25 M R^2 ) ( v^2R^2 ) = 15 M v^2 na energia cinética rotacional:
Etotal, inicial = Ecin, trans + Ecin, rot = 12 M v^2 + 15 M v^2 = 710 M v^2
Então, a energia total inicial é:

Passo 4

À medida que a bola sobe a rampa, ela ganha energia potencial gravitacional ( Epot = M g h ) e perde energia cinética. A energia potencial é dada por:
710 M v^2 = M g h
Onde:
  • 710 v^2 = g h é a aceleração da gravidade ( ),
  • é a altura da rampa.
No ponto mais alto, toda a energia cinética será convertida em energia potencial, então igualamos a energia total inicial à energia potencial:
Podemos simplificar dos dois lados da equação:

Passo 5

Agora, para encontrar a velocidade final no topo da rampa, vamos resolver para 710 vi^2 = g h + 710 vf^2 . No topo, a velocidade será zero se toda a energia for convertida em potencial. Porém, como queremos a velocidade no topo, consideramos que não toda a energia é convertida, e precisamos rearranjar a equação para encontrar 710 vi^2 - g h = 710 vf^2 .
A energia total no topo será apenas a energia potencial mais a energia cinética restante:
vf^2 = vi^2 - 107 g h
Vamos isolar vf = raizvi^2 - 107 g h :

Passo 6

Agora, substituímos os valores dados para resolver as partes (a) e (b):
a) Para vf = raiz(8,0)^2 - 107 times 9,8 times 0,8 e vf = raiz64 - 107 times 7,84 :
vf = raiz64 - 11,2
vf = raiz52,8 approx 7,27 m/s
vf = raiz(8,0)^2 - 107 times 9,8 times 1,0
vf = raiz64 - 107 times 9,8
b) Para vf = raiz64 - 14 :
vf = raiz50 approx 7,07 m/s

Resposta

a) A velocidade no topo da rampa de é aproximadamente .
b) Sim, se a rampa tiver de altura, a bola ainda chega ao topo com uma velocidade de aproximadamente .

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