Problema 11 Uma bola de boliche sobe por uma rampa de de altura sem escorregar para o armazenamento. Tem uma velocidade inicial de seu centro de massa de . (a) Qual é a velocidade no topo da rampa? (b) Se a rampa tem de altura, ela chega ao topo?
Dados: Momento de inerciá da da bola

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está nos pedindo. Temos uma bola de boliche que sobe por uma rampa até chegar a uma certa altura. Inicialmente, a bola tem uma velocidade de no seu centro de massa. Precisamos descobrir:
a) Qual será a velocidade da bola no topo da rampa de de altura.
b) Se a rampa tiver de altura, a bola conseguirá chegar até o topo.
Para resolver isso, vamos usar os conceitos de energia cinética e energia potencial gravitacional, além de considerar a energia de rotação da bola, já que ela está rolando sem escorregar.

Passo 2

Vamos começar calculando a energia total da bola no ponto inicial. A energia total ( ) é a soma da energia cinética translacional ( ) e da energia cinética rotacional ( ).
A energia cinética translacional é dada por:
Onde:
  • é a massa da bola,
  • é a velocidade do centro de massa.
A energia cinética rotacional é dada por:
Onde:
  • é o momento de inércia da bola,
  • é a velocidade angular.
Como a bola está rolando sem escorregar, temos a relação:
Onde é o raio da bola.
Dado que o momento de inércia , podemos substituir na fórmula da energia cinética rotacional.

Passo 3

Substituindo na energia cinética rotacional:
Então, a energia total inicial é:

Passo 4

À medida que a bola sobe a rampa, ela ganha energia potencial gravitacional ( ) e perde energia cinética. A energia potencial é dada por:
Onde:
  • é a aceleração da gravidade ( ),
  • é a altura da rampa.
No ponto mais alto, toda a energia cinética será convertida em energia potencial, então igualamos a energia total inicial à energia potencial:
Podemos simplificar dos dois lados da equação:

Passo 5

Agora, para encontrar a velocidade final no topo da rampa, vamos resolver para . No topo, a velocidade será zero se toda a energia for convertida em potencial. Porém, como queremos a velocidade no topo, consideramos que não toda a energia é convertida, e precisamos rearranjar a equação para encontrar .
A energia total no topo será apenas a energia potencial mais a energia cinética restante:
Vamos isolar :

Passo 6

Agora, substituímos os valores dados para resolver as partes (a) e (b):
a) Para e :
b) Para :

Resposta

a) A velocidade no topo da rampa de é aproximadamente .
b) Sim, se a rampa tiver de altura, a bola ainda chega ao topo com uma velocidade de aproximadamente .

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