No problema anterior, mostre que a energia cinética antes da colisão é dada no referencial do centro de massa por m1m2vi2/[2(m1+m2)]m_1 m_2 vi ^wed>= 2 /[2(m 1+m 2)] m 1 m 2 vi 2 /[2(m 1+m 2)] e após a colisão é zero.

Passo 1

Vamos lá! O enunciado pede para mostrar que a energia cinética antes da colisão no referencial do centro de massa é dada por e que depois da colisão é zero. Estamos lidando com energia cinética e colisão inercial. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a energia cinética no referencial do centro de massa e como as velocidades se comportam antes e depois da colisão.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a velocidade do centro de massa ( Vcm = m1 v1 + m2 v2m1 + m2 ). A fórmula para Vcm = m1 vi + m2 cdot 0m1 + m2 = m1 vim1 + m2 é:
Assumindo que antes da colisão, o objeto 2 está em repouso ( ), então:

Passo 3

Agora, vamos determinar as velocidades dos objetos no referencial do centro de massa. Isso significa que vamos subtrair v'1 = v1 - Vcm = vi - m1 vim1 + m2 = m2 vim1 + m2 das velocidades individuais.
Para o objeto 1:
v'2 = v2 - Vcm = 0 - m1 vim1 + m2 = -m1 vim1 + m2
Para o objeto 2:

Passo 4

A energia cinética no referencial do centro de massa antes da colisão ( Ki = 12 m1 v'1^2 + 12 m2 v'2^2 ) é a soma das energias cinéticas dos dois objetos nessa referência:
Substituindo Ki = 12 m1 (m2 vim1 + m2)^2 + 12 m2 (-m1 vim1 + m2)^2 e :

Passo 5

Simplificando os termos:
Ki = 12 m1 m2^2 vi^2(m1 + m2)^2 + 12 m2 m1^2 vi^2(m1 + m2)^2
Ki = m1 m2^2 vi^22(m1 + m2)^2 + m1^2 m2 vi^22(m1 + m2)^2
Ki = m1 m2 vi^2 (m2 + m1)2(m1 + m2)^2
Ki = m1 m2 vi^22(m1 + m2)

Passo 6

Depois da colisão, se considerarmos que é uma colisão perfeitamente inelástica, os dois objetos ficam juntos e, portanto, têm a mesma velocidade. No referencial do centro de massa, a velocidade final dos dois objetos é zero, já que estão parados em relação ao centro de massa.
Assim, a energia cinética final ( Kf = 12 (m1 + m2) cdot 0^2 = 0 ) é:

Resposta

A energia cinética antes da colisão no referencial do centro de massa é e após a colisão é zero.

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