Um vagão de peso WWW desliza sem atrito sobre um trilho horizontal reto com velocidade v0v_0v0 para a direita. Se um homem de peso www, que está inicialmente em repouso sobre o vagão, começar a correr para a esquerda com velocidade vvv em relação ao vagão, mostre que a variação de velocidade do vagão será W /(W+w) W /(W+w) W /(W+w).

Passo 1

Vamos lá! Temos um vagão que está se movendo sem atrito sobre um trilho horizontal com uma certa velocidade inicial para a direita. Dentro desse vagão, há um homem parado que decide começar a correr para a esquerda com uma velocidade em relação ao vagão. Queremos descobrir como essa ação do homem afeta a velocidade do vagão. Para resolver isso, vamos usar o conceito de conservação da quantidade de movimento, que é essencial quando não há forças externas atuando no sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a quantidade de movimento ( p = m times v ) de um objeto é dada por:
onde é a massa e é a velocidade.

Passo 3

Vamos considerar o sistema formado pelo vagão e pelo homem. Inicialmente, o sistema está em movimento com velocidade pinicial = (M + m) times v0 . A quantidade de movimento inicial ( M = Wg e m = wg ) do sistema é:
onde é a massa do vagão e é a massa do homem. Note que e , mas como o problema nos dá as massas em termos de peso, podemos relacionar assim:

Passo 4

Quando o homem começa a correr para a esquerda com velocidade relativa ao vagão, ele está puxando o vagão para a direita devido à ação e reação (terceira lei de Newton). A nova velocidade do sistema será , onde é a variação da velocidade do vagão que queremos encontrar.

Passo 5

Aplicando a conservação da quantidade de movimento:
pinicial = pfinal
(M + m) times v0 = M times (v0 + De
Aqui, é a quantidade de movimento do homem, já que ele está se movendo com velocidade para a esquerda em relação ao vagão.

Passo 6

Vamos simplificar a equação:
(M + m) v0 = M v0 + M De
(M + m) v0 = (M + m) v0 + (M + m) De
Subtraindo 0 = (M + m) De de ambos os lados:
(M + m) De

Passo 7

Isolando De:
De
Substituindo De e :
Assim, a variação da velocidade do vagão é:

Resposta

A variação da velocidade do vagão é .

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