Mostre que numa colisão elástica unidimensional a velocidade do centro de massa de duas partículas de massas m1m_1m1 e m2m_2m2 com velocidades iniciais v1iv_{1i}vli e v2iv_{2i}v2i, respectivamente, é
.
Passo 1
Vamos resolver um problema de colisão elástica em uma dimensão. Precisamos mostrar como calcular a velocidade do centro de massa (
) de duas partículas com massas
e
, que têm velocidades iniciais
e
, respectivamente. Para isso, vamos usar conceitos de física sobre centro de massa e conservação de quantidade de movimento.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o centro de massa é um ponto que representa a média ponderada das posições das partículas, levando em conta suas massas. A velocidade do centro de massa (
) é a taxa de variação da posição do centro de massa.
Passo 3
A fórmula para calcular a velocidade do centro de massa de um sistema de duas partículas é dada por:
Essa fórmula mostra que a velocidade do centro de massa é a soma das quantidades de movimento individuais dividida pela soma das massas das partículas.
Passo 4
Vamos derivar essa fórmula. A quantidade de movimento (
) de cada partícula é o produto da sua massa pela sua velocidade. Assim, para as duas partículas:
Passo 5
A quantidade de movimento total do sistema é a soma das quantidades de movimento individuais:
Passo 6
A velocidade do centro de massa (
) pode ser encontrada dividindo a quantidade de movimento total pela massa total do sistema:
Resposta
Assim, mostramos que a velocidade do centro de massa é: