Mostre que numa colisão elástica unidimensional a velocidade do centro de massa de duas partículas de massas m1m_1m1 e m2m_2m2 com velocidades iniciais v1iv_{1i}vli e v2iv_{2i}v2i, respectivamente, é vcm=m 1 v 1 i+m 2 v 2 im 1+m 2 v-backslash textcm=backslash fracm- 1 v-1 i+m- 2 v 2 im 1+m 2 vcm=m 1+m 2 m 1 v 1 i+m 2 v 2 i.

Passo 1

Vamos resolver um problema de colisão elástica em uma dimensão. Precisamos mostrar como calcular a velocidade do centro de massa ( ) de duas partículas com massas e , que têm velocidades iniciais e , respectivamente. Para isso, vamos usar conceitos de física sobre centro de massa e conservação de quantidade de movimento.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o centro de massa é um ponto que representa a média ponderada das posições das partículas, levando em conta suas massas. A velocidade do centro de massa ( ) é a taxa de variação da posição do centro de massa.

Passo 3

A fórmula para calcular a velocidade do centro de massa de um sistema de duas partículas é dada por:
vcm = m1 v1i + m2 v2im1 + m2
Essa fórmula mostra que a velocidade do centro de massa é a soma das quantidades de movimento individuais dividida pela soma das massas das partículas.

Passo 4

Vamos derivar essa fórmula. A quantidade de movimento ( p1 = m1 v1i ) de cada partícula é o produto da sua massa pela sua velocidade. Assim, para as duas partículas:
p2 = m2 v2i

Passo 5

A quantidade de movimento total do sistema é a soma das quantidades de movimento individuais:
ptotal = p1 + p2 = m1 v1i + m2 v2i

Passo 6

A velocidade do centro de massa ( vcm = ptotalm1 + m2 = m1 v1i + m2 v2im1 + m2 ) pode ser encontrada dividindo a quantidade de movimento total pela massa total do sistema:

Resposta

Assim, mostramos que a velocidade do centro de massa é:
vcm = m1 v1i + m2 v2im1 + m2

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