Problema 4: O campo elétrico em determinada região do espaço é dado pela expressão E(x, y, z)=alpha x x, em que alpha é uma constante conhecida. Estamos interessados em calcular a diferença de potencial elétrico VB-VA, em que VA é o valor do potencial no ponto A (determinado por um vetor rA ) e VB é o valor do potencial no ponto B (determinado por um vetor rB ).
Se rA=(0, bary, 0) e rB=(barx, 0,0) são conhecidos, calcule VB-VA cdot(1,50)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um campo elétrico dado por E(x, y, z) = alpha x x. A parada é calcular a diferença de potencial elétrico entre dois pontos, VB - VA. Os pontos A e B estão nas posições rA = (0, bary, 0) e rB = (barx, 0, 0). Pra resolver isso, vamos usar o conceito de que a diferença de potencial é a integral do campo elétrico ao longo de um caminho entre os dois pontos.

Passo 2

Primeiro, bora lembrar que a diferença de potencial elétrico, VB - VA, é igual à integral negativa do campo elétrico ao longo de um caminho de A para B. Matematicamente, isso fica assim:
VB - VA = -integralA^B E cdot dl
Aqui, E é o campo elétrico e dl é um elemento infinitesimal do caminho.

Passo 3

Vamos escolher um caminho simples para facilitar a integral. Vamos dividir o trajeto de A a B em duas partes:
  1. De A(0, bary, 0) até a origem O(0,0,0).
  2. De O(0,0,0) até B(barx, 0, 0).

Passo 4

Primeiro, vamos integrar de A até O. Nesse segmento, o valor de x é sempre zero porque estamos movendo apenas na direção y. Então, o campo elétrico E = alpha x x também é zero. Logo, essa parte da integral não contribui nada:
integralA^O E cdot dl = 0

Passo 5

Agora, vamos integrar de O até B. Aqui, estamos movendo na direção x, então y e z são sempre zero. O campo elétrico é E = alpha x x e o elemento de caminho é dl = dx x. Então, a integral fica:
integralO^B E cdot dl = integral0^barx alpha x , dx

Passo 6

Vamos resolver essa integral:
integral0^barx alpha x , dx = alpha [ x^22 ]0^barx = alpha ( barx^22 - 0 ) = alpha barx^22

Passo 7

Agora, juntando tudo, a diferença de potencial é:
VB - VA = -alpha barx^22

Resposta

A diferença de potencial elétrico VB - VA é igual a - dfracalpha barx^22.

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