Problema 7. Considere uma espira circular fina e condutora de raio localizada no plano . A espira está imersa em uma região onde existe um campo magnético uniforme, porém não estacionário, descrito por , onde e são constantes positivas. Para :
(a) Determine o módulo da força eletromotriz induzida na espira.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma espira circular no plano XY com raio e está imersa em um campo magnético que muda com o tempo. O campo é dado por , onde e são constantes positivas. O que a gente precisa descobrir aqui é a força eletromotriz (ou EMF) induzida nessa espira quando o tempo é igual a . Para resolver isso, vamos usar a Lei de Faraday da Indução Eletromagnética, que conecta a variação do fluxo magnético com a EMF induzida.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é fluxo magnético. O fluxo magnético () através da espira é dado por:
Como a espira está no plano XY e o campo magnético está na direção , a perpendicularidade simplifica o cálculo para:
onde é a área da espira.
Passo 3
Agora, vamos calcular a área da espira. Como é uma espira circular, a área é:
Passo 4
Substituindo o valor do campo magnético e a área na express��o do fluxo magnético, temos:
Então,
Passo 5
A Lei de Faraday nos diz que a força eletromotriz induzida () é igual à taxa de variação do fluxo magnético:
Vamos calcular essa derivada.
Passo 6
Calculando a derivada de em relação ao tempo :
Portanto,
Passo 7
Como estamos interessados no módulo da força eletromotriz, vamos considerar o valor absoluto:
Passo 8
Agora, substituímos o valor de na expressão:
Passo 9
Simplificando:
|E| = a pi R^2 times 12 b = a b pi R^22
Resposta
O módulo da força eletromotriz induzida na espira para |E| = a b pi R^22 é: