Problema 7. Considere uma espira circular fina e condutora de raio R localizada no plano X Y. A espira está imersa em uma região onde existe um campo magnético uniforme, porém não estacionário, descrito por B= a t(b-t) z, onde a e b são constantes positivas. Para t=34 b:
(a) Determine o módulo da força eletromotriz induzida na espira.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma espira circular no plano XY com raio e está imersa em um campo magnético que muda com o tempo. O campo é dado por , onde e são constantes positivas. O que a gente precisa descobrir aqui é a força eletromotriz (ou EMF) induzida nessa espira quando o tempo é igual a . Para resolver isso, vamos usar a Lei de Faraday da Indução Eletromagnética, que conecta a variação do fluxo magnético com a EMF induzida.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é fluxo magnético. O fluxo magnético ( Phi = B cdot A ) através da espira é dado por:
Phi = B times A
Como a espira está no plano XY e o campo magnético está na direção , a perpendicularidade simplifica o cálculo para:
onde é a área da espira.

Passo 3

Agora, vamos calcular a área A = pi R^2 da espira. Como é uma espira circular, a área é:

Passo 4

Substituindo o valor do campo magnético e a área na express��o do fluxo magnético, temos:
Phi = a t(b - t) times pi R^2
Então,
Phi = a pi R^2 t(b - t)

Passo 5

A Lei de Faraday nos diz que a força eletromotriz induzida ( E = -dPhidt ) é igual à taxa de variação do fluxo magnético:
Vamos calcular essa derivada.

Passo 6

Calculando a derivada de dPhidt = a pi R^2 ddt [t(b - t)] = a pi R^2 (b - 2t) em relação ao tempo E = -a pi R^2 (b - 2t) :
Portanto,

Passo 7

Como estamos interessados no módulo da força eletromotriz, vamos considerar o valor absoluto:
|E| = | -a pi R^2 (b - 2t) | = a pi R^2 |b - 2t|

Passo 8

Agora, substituímos o valor de |E| = a pi R^2 | b - 2 ( 34 b ) | = a pi R^2 | b - 32 b | = a pi R^2 | -12 b | na expressão:

Passo 9

Simplificando:
|E| = a pi R^2 times 12 b = a b pi R^22

Resposta

O módulo da força eletromotriz induzida na espira para |E| = a b pi R^22 é:

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