Calcular a densidade do cilindro e suas incertezas usando a equação de propagação de erros

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a densidade de um cilindro e também as incertezas envolvidas usando a equação de propagação de erros. Basicamente, vamos mexer com fórmulas de física e um pouco de matemática para entender como as medidas que a gente tem podem afetar a precisão do resultado final.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a densidade. A densidade ( rho) é definida pela fórmula:
rho = mV
Onde:
  • m é a massa do cilindro
  • V é o volume do cilindro

Passo 3

Agora, precisamos expressar o volume ( V) do cilindro. A fórmula para o volume de um cilindro é:
V = pi r^2 h
Onde:
  • r é o raio da base do cilindro
  • h é a altura do cilindro
  • pi é uma constante (~3,1416)

Passo 4

Vamos falar sobre as incertezas. Quando medimos m, r e h, sempre há uma pequena margem de erro nessas medições, que a gente chama de incertezas ( de, de, de).
Para calcular a incerteza na densidade ( de), vamos usar a propagação de erros. A regra geral para a propagação de erros em funções multiplicativas/divisórias é:
de

Passo 5

Vamos agora calcular a incerteza no volume ( de). Como V = pi r^2 h, aplicamos a regra de propagação de erros:
de
Aqui, o 2 vem porque o raio está ao quadrado na fórmula do volume.

Passo 6

Substituindo de na equação da incerteza da densidade, temos:
de
Multiplicando ambos os lados por rho, obtemos a incerteza total na densidade:
de

Resposta

Então, a densidade do cilindro é dada por:
rho = mpi r^2 h
E a incerteza na densidade é:
de
Isso significa que para encontrar a densidade com suas incertezas, você calcula a densidade normalmente e depois aplica essa fórmula para considerar como as incertezas nas medidas de massa, raio e altura afetam o resultado final.

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