Problema 2 ( 2.5 pts): Suponha que o peso médio de um labrador adulto, mensurado em quilogramas, seja uma v.a.
com uma distribuição normal (aproximadamente) com média 33 e variância 16.
Calcule
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Calcule
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema que envolve estatística, mais especificamente a distribuição normal. O enunciado diz que o peso médio de um labrador adulto segue uma distribuição normal com média 33 kg e variância 16 kg². Queremos calcular a probabilidade de um labrador pesar entre 29 kg e 37 kg, ou seja,
. Para resolver isso, vamos precisar entender como trabalhar com a distribuição normal e usar a tabela Z ou funções de distribuição acumulada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a distribuição normal é simétrica e é totalmente determinada pela média (
) e pelo desvio padrão (
). Aqui, a média é 33 kg e a variância é 16 kg², então o desvio padrão é a raiz quadrada da variância:
Passo 3
Agora, para calcular a probabilidade
, precisamos padronizar esses valores usando a transformação Z, que converte nosso valor X em um valor Z da distribuição normal padrão (com média 0 e desvio padrão 1). A fórmula para isso é:
Passo 4
Vamos calcular o Z para X = 29 kg:
E para X = 37 kg:
Passo 5
Agora, queremos encontrar a probabilidade de Z estar entre -1 e 1, ou seja,
. Isso representa a área sob a curva da distribuição normal padrão entre Z = -1 e Z = 1.
Passo 6
Sabemos que, em uma distribuição normal padrão, aproximadamente 68% dos dados estão dentro de um desvio padrão da média (entre Z = -1 e Z = 1). Portanto:
Passo 7
Assim, a probabilidade de um labrador adulto pesar entre 29 kg e 37 kg é aproximadamente 68%.
Resposta
A probabilidade de um labrador adulto pesar entre 29 kg e 37 kg é aproximadamente 68%.