Questão 1: Lançam-se dois dados honestos. Seja X a soma das faces, determine a distribuição de probabilidade de X e sua função de distribuição. Faça um esboço dos gráficos da distribuição de probabilidade e da função de distribuição.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre lançar dois dados justos e somar os números que aparecem nas faces. A gente quer descobrir qual é a distribuição de probabilidade dessa soma, chamada de , e também a função de distribuição acumulada dessa . Para resolver isso, vamos precisar entender como funcionam as probabilidades em lançamentos de dados e como calcular as somas possíveis.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que cada dado tem 6 faces, numeradas de 1 a 6. Quando lançamos dois dados, cada um pode cair em qualquer uma dessas 6 faces, então temos um total de possíveis combinações de resultados.

Passo 3

Agora, vamos pensar nas somas possíveis que podemos obter ao somar os números das duas faces, ou seja, o valor de . A menor soma que podemos obter é 2 (quando ambos os dados mostram 1) e a maior soma é 12 (quando ambos mostram 6).

Passo 4

Vamos listar todas as possíveis somas e contar quantas combinações resultam em cada soma:
  • Soma 2: (1,1) → 1 combinação
  • Soma 3: (1,2), (2,1) → 2 combinações
  • Soma 4: (1,3), (2,2), (3,1) → 3 combinações
  • Soma 5: (1,4), (2,3), (3,2), (4,1) → 4 combinações
  • Soma 6: (1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1) → 5 combinações
  • Soma 7: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) → 6 combinações
  • Soma 8: (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2) → 5 combinações
  • Soma 9: (3,6), (4,5), (5,4), (6,3) → 4 combinações
  • Soma 10: (4,6), (5,5), (6,4) → 3 combinações
  • Soma 11: (5,6), (6,5) → 2 combinações
  • Soma 12: (6,6) → 1 combinação

Passo 5

Agora, para encontrar a distribuição de probabilidade de P(X = x) = Número de combinações que somam x36 , vamos dividir o número de combinações que resultam em cada soma pelo total de combinações possíveis (36):
úçõ
Assim, temos:

Passo 6

Agora, vamos construir a função de distribuição acumulada F(X <= x) = sumk=2^x P(X=k) , que representa a probabilidade de ser menor ou igual a determinado valor. Para isso, somamos as probabilidades das somas menores ou iguais a :
Vamos calcular para cada :

Passo 7

Por fim, vamos esquematizar como seriam os gráficos:
  • Distribuição de Probabilidade: Seria um gráfico de barras onde no eixo horizontal (x) temos as somas possíveis de 2 a 12, e no eixo vertical (y) a probabilidade . Cada barra representaria a probabilidade de cada soma.
  • Função de Distribuição Acumulada: Este gráfico seria uma linha crescente que começa em e vai até , aumentando de acordo com as somas. A cada ponto , a linha sobe conforme a probabilidade acumulada até aquele valor.

Resposta

A distribuição de probabilidade de c|c X & P(X=x) hline 2 & 136 3 & 118 4 & 112 5 & 19 6 & 536 7 & 16 8 & 536 9 & 19 10 & 112 11 & 118 12 & 136 é dada por:
c|c X & F(X) hline 2 & 136 3 & 112 4 & 16 5 & 518 6 & 512 7 & 712 8 & 1318 9 & 56 10 & 1112 11 & 3536 12 & 1
A função de distribuição acumulada é:
E os gráficos seriam:
  • Distribuição de Probabilidade: Barras para cada soma de 2 a 12 com alturas correspondentes a .
  • Função de Distribuição Acumulada: Uma linha que começa em para e vai subindo gradualmente até chegar a 1 para .

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