Questão 1: Lançam-se dois dados honestos. Seja
a soma das faces, determine a distribuição de probabilidade de X e sua função de distribuição. Faça um esboço dos gráficos da distribuição de probabilidade e da função de distribuição.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre lançar dois dados justos e somar os números que aparecem nas faces. A gente quer descobrir qual é a distribuição de probabilidade dessa soma, chamada de
, e também a função de distribuição acumulada dessa
. Para resolver isso, vamos precisar entender como funcionam as probabilidades em lançamentos de dados e como calcular as somas possíveis.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que cada dado tem 6 faces, numeradas de 1 a 6. Quando lançamos dois dados, cada um pode cair em qualquer uma dessas 6 faces, então temos um total de
possíveis combinações de resultados.
Passo 3
Agora, vamos pensar nas somas possíveis que podemos obter ao somar os números das duas faces, ou seja, o valor de
. A menor soma que podemos obter é 2 (quando ambos os dados mostram 1) e a maior soma é 12 (quando ambos mostram 6).
Passo 4
Vamos listar todas as possíveis somas e contar quantas combinações resultam em cada soma:
- Soma 2: (1,1) → 1 combinação
- Soma 3: (1,2), (2,1) → 2 combinações
- Soma 4: (1,3), (2,2), (3,1) → 3 combinações
- Soma 5: (1,4), (2,3), (3,2), (4,1) → 4 combinações
- Soma 6: (1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1) → 5 combinações
- Soma 7: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) → 6 combinações
- Soma 8: (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2) → 5 combinações
- Soma 9: (3,6), (4,5), (5,4), (6,3) → 4 combinações
- Soma 10: (4,6), (5,5), (6,4) → 3 combinações
- Soma 11: (5,6), (6,5) → 2 combinações
- Soma 12: (6,6) → 1 combinação
Passo 5
Agora, para encontrar a distribuição de probabilidade de
, vamos dividir o número de combinações que resultam em cada soma pelo total de combinações possíveis (36):
Assim, temos:
Passo 6
Agora, vamos construir a função de distribuição acumulada
, que representa a probabilidade de
ser menor ou igual a determinado valor. Para isso, somamos as probabilidades das somas menores ou iguais a
:
Vamos calcular para cada
:
Passo 7
Por fim, vamos esquematizar como seriam os gráficos:
-
Distribuição de Probabilidade: Seria um gráfico de barras onde no eixo horizontal (x) temos as somas possíveis de 2 a 12, e no eixo vertical (y) a probabilidade
. Cada barra representaria a probabilidade de cada soma. -
Função de Distribuição Acumulada: Este gráfico seria uma linha crescente que começa em
e vai até , aumentando de acordo com as somas. A cada ponto , a linha sobe conforme a probabilidade acumulada até aquele valor.
Resposta
A distribuição de probabilidade de
é dada por:
A função de distribuição acumulada
é:
E os gráficos seriam:
- Distribuição de Probabilidade: Barras para cada soma de 2 a 12 com alturas correspondentes a
. - Função de Distribuição Acumulada: Uma linha que começa em
para e vai subindo gradualmente até chegar a 1 para .