Sejam y1 e y2 duas soluções para a equação
a2(x) y'' + a1(x) y' + a0(x) y = 0
onde a_j(x), j em {0, 1, 2} são funções contínuas em um intervalo I ⊆ R e a2(x) != 0 para todo x em I.
Se W(y1, y2) é o Wronskiano de y1 e y2, mostre que:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial de segunda ordem:
Onde , e são funções contínuas em um intervalo I, e nunca é zero nesse intervalo. Temos duas soluções dessa equação, y1 e y2, e queremos mostrar uma propriedade do Wronskiano dessas duas soluções, que é basicamente uma medida de como essas soluções estão relacionadas entre si.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Wronskiano. Para duas funções y1 e y2, o Wronskiano é definido como:
Ele nos ajuda a determinar se as soluções são linearmente independentes.

Passo 3

Agora, vamos derivar o Wronskiano em relação a x. Então, vamos calcular :
Simplificando, percebemos que os termos se cancelam:

Passo 4

Sabemos que y1 e y2 são soluções da equação diferencial dada. Isso significa que elas satisfazem:
Podemos rearrumar isso para expressar em termos de e y:

Passo 5

Vamos substituir e nas expressões para que encontramos:
Simplificando:
Note que , então a segunda parte some:

Resposta

Então, mostramos que o Wronskiano das soluções y1 e y2 satisfaz a equação diferencial:

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