onde são funções contínuas em um intervalo e .
Se é o Wronskiano de e , mostre que:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial de segunda ordem:
Onde , e são funções contínuas em um intervalo , e nunca é zero nesse intervalo. Temos duas soluções dessa equação, e , e queremos mostrar uma propriedade do Wronskiano dessas duas soluções, que é basicamente uma medida de como essas soluções estão relacionadas entre si.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Wronskiano. Para duas funções e , o Wronskiano é definido como:
Ele nos ajuda a determinar se as soluções são linearmente independentes.
Passo 3
Agora, vamos derivar o Wronskiano em relação a x. Então, vamos calcular :
Simplificando, percebemos que os termos se cancelam:
Passo 4
Sabemos que y1 e y2 são soluções da equação diferencial dada. Isso significa que elas satisfazem:
Podemos rearrumar isso para expressar em termos de e y:
Passo 5
Vamos substituir e nas expressões para que encontramos:
Simplificando:
Note que , então a segunda parte some:
Resposta
Então, mostramos que o Wronskiano das soluções y1 e y2 satisfaz a equação diferencial: