y' sen(x) = y ln(y), y(pi/2) = 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o problema: temos a equação diferencial com a condição inicial . Esse tipo de equação pertence ao conteúdo de equações diferenciais de primeira ordem e separação de variáveis. Para resolver, vamos precisar separar as variáveis e e integrar ambos os lados.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para isolar :
Sabemos que , então:

Passo 3

Agora, vamos separar as variáveis e . Para isso, dividimos ambos os lados por e multiplicamos por :

Passo 4

Próximo passo é integrar ambos os lados da equação. Vamos começar com o lado esquerdo:
Aqui, fazemos uma substituição para facilitar a integração. Seja , então . Assim, a integral fica:

Passo 5

Agora, vamos integrar o lado direito:
A integral de é . Então temos:

Passo 6

Para simplificar, podemos eliminar os logaritmos exponenciando ambos os lados:
Onde é uma constante.

Passo 7

Agora, resolvemos para :

Passo 8

Utilizamos a condição inicial para encontrar a constante :

Resposta

Portanto, a solução da equação diferencial é .

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