.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o problema: temos a equação diferencial com a condição inicial
. Esse tipo de equação pertence ao conteúdo de equações diferenciais de primeira ordem e separação de variáveis. Para resolver, vamos precisar separar as variáveis
e
e integrar ambos os lados.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para isolar
:
Sabemos que
, então:
Passo 3
Agora, vamos separar as variáveis
e
. Para isso, dividimos ambos os lados por
e multiplicamos por
:
Passo 4
Próximo passo é integrar ambos os lados da equação. Vamos começar com o lado esquerdo:
Aqui, fazemos uma substituição para facilitar a integração. Seja
, então
. Assim, a integral fica:
Passo 5
Agora, vamos integrar o lado direito:
A integral de
é
. Então temos:
Passo 6
Para simplificar, podemos eliminar os logaritmos exponenciando ambos os lados:
Onde
é uma constante.
Passo 7
Agora, resolvemos para
:
Passo 8
Utilizamos a condição inicial
para encontrar a constante
:
Resposta
Portanto, a solução da equação diferencial é
.