Dos problemas 1 a 10, ache as assintotas horizontais e verticais do gráfico de cada função e trace o gráfico.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar as assíntotas horizontais e verticais do gráfico da função
. Isso faz parte do conteúdo de funções racionais, onde a gente estuda como essas funções se comportam no gráfico, especialmente perto de certas linhas chamadas assíntotas. Para resolver isso, vamos precisar identificar os valores de
que fazem o denominador zerar (para as assíntotas verticais) e analisar o comportamento da função quando
tende ao infinito (para as assíntotas horizontais).
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as assíntotas verticais. Assíntotas verticais acontecem onde o denominador da fração é zero, porque a função tende ao infinito nessas regiões. Então, vamos resolver a equação
.
Então, temos uma assíntota vertical em
.
Passo 3
Agora, vamos procurar as assíntotas horizontais. Para funções racionais onde o grau do numerador e do denominador são iguais, a assíntota horizontal é encontrada dividindo os coeficientes dos termos de maior grau. Na nossa função
, tanto o numerador quanto o denominador têm grau 1.
Os coeficientes dos termos de maior grau são 7 (no numerador) e 2 (no denominador). Então, a assíntota horizontal é:
Passo 4
Por fim, vamos resumir o que encontramos. A função
tem uma assíntota vertical em
e uma assíntota horizontal em
. Para traçar o gráfico, além dessas assíntotas, você pode calcular alguns pontos adicionais para ver como a função se comporta perto dessas linhas.
Resposta
A função
possui uma assíntota vertical em
e uma assíntota horizontal em
.
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